「数论基础」欧拉定理(费马小定理)

在阅读本篇之前,如果还不熟悉欧拉函数,可以参见另一篇介绍欧拉函数的「数论基础」欧拉函数

定义:对于互质的两个正整数$a, n$,满足$a^{φ(n)} ≡ 1\  (mod\ n)$

证明:

  设集合$S$包含所有$n$以内与$n$互质的数,共有$φ(n)$个:

        $S = \{ x_1, x_2, ..., x_{φ(n)} \} $

  再设集合$T$:

     $T = \{ a * x_1 \% n, a * x_2 \% n, ..., a * x_{φ(n)} \% n \} $

  由于$ x_i, n $互质,$ a, n $互质,故$a, x_i$一定不包含任何$n$的因数。所以$a * x_i, n$互质

  所以显而易见    $gcd(a * x_i \% n, n) = 1$

  显然$S$集合中的元素互不相同,下面证明$T$中集合的元素互不相同:

  证明:

    要证明$T$中集合的元素互不相同,可以证明集合 $ \{ a * x_1, a * x_2, ..., a * x_{φ(n)} \} $ 中任意两个数对于$n$都不同余。

    可以利用反证法:

    令$m_i = a * x_i$,则集合可表示为 $ \{ m_1, m_2, ..., m_{φ(n)} \} $

    设$ m_s ≡ m_r\  (mod\ n) $,则可得$ m_s - m_r = q * n $, $ a * (x_s - x_r) = q * n $

    即$ n | (a * (x_s - x_r)) $

    由于$a ,n$互质,所以$a, n$没有除1外相同的因子,所以$x_s - x_r$含有所有n的因子。而由于$x_s, x_r$都是$n$以内的,所以$x_s - x_r < n$。

    所以$ n | (a * (x_s - x_r)) $不成立,故$T$中集合的元素互不相同。

  由于$T$中元素互不相同,而又由于$S$中的元素包含了$n$以内所有与$n$互质的数,$T$也包含了$n$以内所有与$n$互质的数。且$S, T$内的元素都是互不相同的.

  所以$S = T$

  乘起来:

  $ x_1 *  x_2 *  ... *  x_{φ(n)}  ≡  a * x_1 *  a * x_2 * ... * a * x_{φ(n)} \ (mod\ n)$

  $ x_1 *  x_2 *  ... *  x_{φ(n)} ≡  a^{φ(n)} * x_1 * x_2 * ... * x_{φ(n)}\ (mod\ n)$

  $ a^{φ(n)} ≡  1\ (mod\ n)$

  欧拉定理得证

  所谓费马小定理,其实就是欧拉定理。只不过当$n$是质数时,$φ(n) = n-1$。

    $a^{n-1} ≡ 1\  (mod\ n)$  ($n$为质数)

原文地址:https://www.cnblogs.com/qixingzhi/p/9328108.html

时间: 2024-10-18 04:11:30

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同余|欧拉定理|费马小定理|扩展欧拉定理|扩展欧几里得算法

目录 同余 基本定理 欧拉定理 费马小定理 扩展欧拉定理 扩展欧几里得算法 同余 基本定理 欧拉定理 若a,m互质,则 \[ a^{\varphi\left ( m \right )}\equiv 1\left ( mod \ m \right ) \] 应用 令,,这两个数是互素的.比5小的正整数中与5互素的数有1.2.3和4,所以.计算:,而.与定理结果相符. 计算的个位数,实际是求被10除的余数.7和10互素,且.由欧拉定理知.所以. 费马小定理 若p是质数,则对于任意整数a,都有 \[

欧拉定理 / 费马小定理证明

主要部分转自百度百科:https://baike.baidu.com/item/欧拉定理 内容: 在数论中,欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质.欧拉定理表明,若n,a为正整数,且n,a互质,则: 证明: 将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然,共有φ(n)个数) 我们考虑这么一些数: m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n) (1) 这些数中的任意两个都不模n同余,因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定m

『基础同余和费马小定理』

同余 同余是数论中一个重要的概念,若整数\(a\)与整数\(b\)除以正整数\(m\)的余数相等,则称\(a\),\(b\)再模\(m\)意义下同余,记为\(a\equiv b(mod\ m)\)或\(m|(a-b)\). 同余基础性质 \(1.\)\(a≡a (mod\ m)\),自反性 \(2.\)若\(a≡b (mod\ m)\),则\(b≡a (mod\ m)\),对称性 \(3.\)若\(a≡b (mod\ m)\),\(b≡c (mod\ m)\),则\(a≡c (mod\ m)\)

[知识点]费马小定理和欧拉定理

一.定义 费马小定理是数论中的一个定理:假如a是一个整数,p是一个质数,那么:a ^ p - a是p的倍数,即: 如果a不是p的倍数,还可以表示为: 二.应用 计算2 ^ 100 / 13的余数. 即余数为3. 三.延伸 费马小定理本质上是欧拉定理的一种特例. 欧拉定理:假如n和a为正整数,且互素,则: 其中,ψ(n)为欧拉函数. (欧拉函数:ψ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数) 在费马小定理的基础上,欧拉定理可以处理模数非质数的情况,比如: 计算7 ^ 222 / 10的余数.

费马小定理是数论的基础理论之一

费马小定理 关于费马小定理,读到注解的时候,还是有点震撼的. 皮埃尔•得•费马(1601-1665)是现代数论的奠基人,他得出了许多有关数论的重要理论结果,但他通常只是通告这些结果,而没有提供证明.费马小定理是在1640年他所写的一封信里提到的,公开发表的第一个证明由欧拉在1736年给出(更早一些,同样的证明也出现在莱布尼茨的未发表的手稿中)费马的最著名结果——称为费马的最后定理——是l637年草草写在他所读的书籍<算术>里(3世纪希腊数学家丢番图所著),还带有一句注释“我已经发现了一个极其美

费马小定理&amp;欧拉定理

在p是素数的情况下,对任意整数x都有xp≡x(mod p).这个定理被称作费马小定理其中如果x无法被p整除,我们有xp-1≡1(mod p).利用这条性质,在p是素数的情况下,就很容易求出一个数的逆元.那上面的式子变形之后得到a-1≡ap-2(mod p),因此可以通过快速幂求出逆元. 我们先来证明一下费马小定理: 费马小定理证明: 一.准备知识 引理1:剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时,有a≡b(mod m) 证明:ac≡b

费马小定理【数论】

假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p) 例如:假如a是整数,p是质数,则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1),那么我们可以得到费马小定理的一个特例,即当p为质数时候, a^(p-1)≡1(mod p). 首先看一个基本的例子. 令a = 3,n = 5,这两个数是互素的. 比5小的正整数中与5互素的数有1.2.3和4,所以φ(5)=4(详情见[欧拉函数]). 计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81,而81= 80 + 1 Ξ 1 (mod 5).与定理

【数学基础】【欧拉定理模板】【费马小定理】

费马小定理:当p是一个质数时,且a和p互质,有ap-1=1(mod p) (欧拉定理的一种特殊情况) 欧拉定理:如果a和n互质,那么aφ(n)=1(mod n) 对于任意a,b,n就有 ab=aφ(n)+b mod φ(n)(mod n) 处理b数值较大的情况 ,采用分治思想,复杂度为O(logn) int mod = n; int fastpow(int a,int b) { long long ret = 1; tmp = a; while(b) { if(b&1) ret = ret*tm