第2章 信息的表示和处理

（一）、三种重要的数字表示

无符号数：编码基于传统的二进制表示法（大于或者等于零的数字）。

补码：编码是表示有符号整数的最常见方式(为正或者为负的数字)。

浮点数：编码是表示实数的科学记数法的以二为基数的版本。

整数的表示虽然只能编码一个相对较小的数值范围，但是是精确的；而浮点数虽然可以编码一个较大的数值范围，但是这种表示是近似的表示。

大量的计算机安全漏洞都是由于计算机运算的微妙细节引发的。

（二）、信息存储

计算机最小的可寻址的存储器单位——字节

一个字节的值域：00H-FFH

一、十六进制表示法

1. C表示法

以0x或0X开头的数字常量为十六进制

2. 进制转换

常用进制：二进制（B），十进制（D），八进制（O或者Q），十六进制（H）

转换为二进制-十六进制相互转换，二进制的四位数字对应十六进制的一位数字。

同理，二进制与八进制的转化是三位对应一位。

但是通常情况下，进制转换都以二进制为桥梁进行转换。

注：特殊情况

课本23页有这样一种情况，要表示的数字常量x=2的n次方时，n=i+4j，且0≤i≤3时，开头的十六进制数字为1（i=0）、2（i=1）、4（i=2）、8（i=3），后面跟随着j个十六进制的0。这里的j是代表着每四位二进制位对应的十六进制位，而i的范围是因为十六进制中每一位的范围是0-F，最多能容纳到8。这是一种方便快捷的计算方法。

二、字

字长决定虚拟地址空间的最大大小。

字长为w，虚拟地址的范围为1-(2^w-1)

w=32或64：也就是我们通常所说的电脑是32位还是64位。也可以理解为CPU一次处理数据的位数。

三、数据大小

在不同字长的计算机中，相同的数据类型所占用的字节数并不相同，32位和64位的区别参见教材26页表格。

gcc -m32 可以在64位机上生成32位的代码

四、寻址和字节顺序

1.小端法和大端法

• 小端法：最低有效字节在前面——“高对高，低对低”
• 大端法：最高有效字节在前面
  

  2.强制类型转换

• typedef：命名数据类型
• sizeof（）：返回类型的字节数（好处？便于移植——32位和64位的区别）

五、表示字符串

c语言中字符串被编码成为一个以null（值为0）字符结尾的字符数组

命令man ascii：得到ASCII字符码表

六、表示代码

二进制代码在不同的操作系统上有不同的编码规则。所以二进制代码是不兼容的

七、布尔代数

1.最简单布尔代数：与& 或| 非~ 异或^（结果为0或1）

2.扩展的布尔运算：位向量的运算（结果仍是位向量）

位向量的应用：表示有限集合，对集合编码

八、位级运算

1.将位向量按位进行逻辑运算，结果仍是位向量

2.掩码运算

掩码：用来选择性的屏蔽信号，是一个位模式，表示从一个字中选出的位的集合。

用位向量给集合编码，通过指定掩码来有选择的屏蔽或者不屏蔽一些信号，某一位位置上为1时，表明信号i是有效的；0表示该信号被屏蔽。这个掩码就表示有效信号的集合。

0xFF：屏蔽除最低有效字节之外的所有字节。

~0：生成全1的掩码

九、逻辑运算

1.逻辑运算符：与&&  或||  非！

2.计算方法：所有非零参数都代表TRUE，0参数代表FALSE。1代表TRUE，0代表FALSE

• 只有当参数被限制为0或1时，逻辑运算才与按位运算有相同的行为。
• 如果对第一个参数求值就能确定表达式的结果，逻辑运算符就不会对后面的参数求值。

十、移位运算

1.左移<<

2.右移>>

逻辑右移：在左端补k个0，多用于无符号数移位运算

算术右移：在左端补k个最高有效位的值，多用于有符号数移位运算。

• Java中用>>表示算术右移，用>>>表示逻辑右移
• 移位运算优先级小于算术运算

（三）、 整数表示

一、整型数据类型

整型数据类型——表示有限范围的整数，每种类型都能用关键字来指定大小，还可以指定是非负数（unsigned）还是负数（默认）。这些不同大小的分配的字数会根据机器的字长和编译器有所不同。

关于取值范围

• 32位机器和64位机器对于同一数据类型的典型取值范围是有所不同的。
• 典型取值范围中，取值范围不对称——负数的范围比整数的范围大1。
• c语言标准定义的每种数据类型必须能够表示的最小的取值范围中，正数和负数的取值范围是对称的。

具体范围见书38页。

要用C99中的“long long”类型，编译是要用 gcc -std=c99

二、无符号数的编码

编码方法见书，已经在很多门课程中都学习过了。

需要注意的是无符号数的二进制表示的一个重要性质：

0-（2^w）-1中的每一个整数和长度为w的位向量是一一对应的。

三、补码编码——有符号数的编码

关于补码，一些可能没有注意过的知识：

• 我们都知道补码的最高位是表示符号位，解释为负权，“权重”为-2的（w-1）次方，即无符号表示中的权重的负数。符号位为1，表示值为负，符号位为0，表示值为非负（不是正，因为有0）
• 补码的映射关系同样是一一对应的
• 补码的范围：-2^(w-1)~2^(w-1)-1，即|TMin|=|TMax|+1——因为非负数中0的存在。
• 无符号数编码（U）和补码（T）：UMax = 2 TMax + 1
• 大多数情况下用补码来表示有符号数，并且具有的是典型的取值范围。

有符号数的其他表示方法：

• 原码
• 反码

四、有符号数和无符号数的转换

1.强制类型转换

从位级角度考虑。

强制类型转换的结果保持位值不变，只是改变了解释这些位的方式。即：这些位上的值不变，但是由于最高有效位的权重发生变化，从而导致结果发生改变。

2.c语言中的有符号数和无符号数及其转换

转换原则：底层的位保持不变。

（1）有符号数→无符号数

• 非负数——保持不变
• 负数——转换成大正数
  

  （2）无符号数→有符号数

  以2的w-1次方为界限：

• 小于它——保持不变
• 大于它——转换为负数值

六、扩展一个数字的位表示

扩展：从一个较小的数据类型转换为较大的数据类型，同时保持数值不变。

1.零扩展：在开头加上0。多用于无符号数转换为一个更大的数据类型。

2.符号扩展：添加最高有效位的副本。多用于补码数字转换

七、截断

截断：减少表示一个数字的位数。而这么做可能会改变它的值，这也是溢出的一种形式。

将一个w位的数截断为k位数字时，就会丢弃高w-k位。

• 对于无符号数来说，就相当于 mod 2的k次幂
• 对于有符号数来说，先按照无符号数截断，然后再转化为有符号数

（四）、 浮点数

浮点表示对形如V=x X (2^y)的有理数进行编码，适用于：

非常大的数字
非常接近于0的数字
作为实数运算的近似值

一、二进制小数

小数的二进制表示法只能表示那些能够被写成x X (2^y)的数，其他的值只能近似的表示。

权重

以小数点为界：

左边第i位，权重为2的i次幂
右边第i位，权重为1/2的i次幂

二、IEEE浮点表示

IEEE浮点标准：

用V=(-1)^s X 2^E X M 来表示一个数：
符号：s决定这个数是正还是负。0的符号位特殊情况处理。
阶码：E对浮点数加权，权重是2的E次幂（可能为负数）
尾数：M是一个二进制小数，范围为1~2-ε或者0~1-ε（ε=1/2的n次幂）

编码规则：

单独符号位s编码符号s，占1位
k位的阶码字段exp编码阶码E
n位小数字段frac编码尾数M（同时需要依赖阶码字段的值是否为0）

两种精度

• 单精度（float），k=8位，n=23位，一共32位；
• 双精度（double），k=11位，n=52位，一共64位。

1.规格化的值

即exp的位模式既不全0也不全1的时候，这是最一般最普遍的情况，因而是规格化的。

2.非规格化的值

即阶码域全为0时的数。

3.特殊值

特殊值是在阶码位全为1的时候出现的。分为两种情况：

（1）无穷

小数字段全为0

（2）NaN不是一个数

小数字段非0

三、舍入

舍入运算：找到和数值x最接近的匹配值x‘，可以用期望的浮点形式表示出来。

IEEE浮点格式定义了四种不同的舍入方法：

1.向偶舍入（默认方法）

即：将数字向上或向下舍入，是的结果的最低有效数字为偶数。

能用于二进制小数。

2.向零舍入

即：把整数向下舍入，负数向上舍入。

3.向下舍入

正数和负数都向下舍入。

4.向上舍入

正数和负数都向上舍入。

四、浮点运算

1.浮点加法

• 浮点加法是可交换的
• 浮点加法不具结合性
• 大多数值的浮点加法都有逆元，除了无穷和NaN。
• 浮点加法满足单调性

2.浮点乘法

• 浮点乘法是可交换的
• 浮点乘法不具有结核性
• 浮点乘法的单位元为1.0
• 浮点乘法在加法上不具备分配性

五、c语言中的浮点数

int、float、double相互转换？

int → float 不会溢出但有可能舍入
int/float → double 结果保留精确数值
double → float 可能溢出为±∞，由于精确度较小也有可能被舍入
float/double → int 向零舍入，可能溢出。