Project Euler：Problem 91 Right triangles with integer coordinates

The points P (x₁, y₁) and Q (x₂, y₂) are plotted at integer co-ordinates and are joined to the origin,
O(0,0), to form ΔOPQ.

There are exactly fourteen triangles containing a right angle that can be formed when each co-ordinate lies between 0 and 2 inclusive; that is,

0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 2.

Given that 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 50, how many right triangles can be formed?

先确定P点坐标(x1,y1)   1<=x1,y1<=50

再确定与OP垂直的直线PQ

则PQ上所有整数坐标点分别与P点和O点构成了一个直角三角形且直角位于P点上

OP的斜率为k1=y1/x1    要化简约分一下 ，即分子分母同时除以gcd(x1,y1)  k1=dy/dx

PQ的斜率应该为-1/k1=-dx/dy

（1）。考虑PQ上的整数点的Y轴坐标小于P点Y轴坐标的情况：

则位于PQ上的整数点应该是相比较于P点坐标，其X坐标增加dy，Y轴坐标减少dx

则X轴方向，PQ上的整数坐标点个数应该是 (xmax-x1)/dy

Y轴方向，PQ上的整数坐标点个数应该是 y1/dx

综上，PQ上的整数坐标点个数为上面两个数的最小值

（2）。对于PQ上的整数点的Y轴大于P点Y轴坐标的情况：

那部分整数坐标点的个数与P1(y1,x1)的（1）情况是完全相同的

所以对于P和P1这两个关于y=x对称的两个点1<=x1,y1<=50

整数坐标点的个数之和为min( (xmax-x1)/dy,y1/dx)*2+min( (xmax-y1)/dx,x1/dy)*2

最后对于直角位于X轴上，位于Y轴上，位于O顶点这三种情况，个数都为2500

所以最后结果还要加上2500*3

import math
def gcd(a,b):
    if a<b:
        a,b=b,a
    while b!=0:
        a=a-b
        if a <b:
            a,b=b,a
    return a

res=2500*3

for i in range(1,51):
    for j in range(1,51):
        k=gcd(i,j)
        tmp=min(math.floor((50-i)*k/j),math.floor(j*k/i))*2
        res=res+tmp

print('res = ',res)

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