有这么一个笑话：

一天，数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。 消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试。”

消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管。消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”

数学家回答：“我把消防栓接到软管上， 打开水龙，把火浇灭。”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着。” 消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”

数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”

这虽然是一则笑话，却道出了一个非常重要的数学思维方式——转换思想。

当年数学家卡笛尔躺在病床上，看着天花板上的壁虎，暝思苦想如何向另一数学家描述壁虎的位置，突然灵光一现，想出了直角坐 标系统。所有几何世界上的点全部都可以用一对二元组（坐标）来表示，将平面几何的关系统全部转换成代数关系。这就是代数几何的由来。卡笛尔的伟大之作是发明发坐标系统，可以将几何问题转换成代数问题。

新旧知识的连接

这里的新旧知识并不是指古老的旧知识和最近10年涌现出来的新知识，而是你已经掌握并可以运用自如的老知识和你当前正要学习的新知识。新旧并不是指知识的时间关系，而是你自身知识结构中已掌握的和正要学习的知识。

我们总是使用旧的知识去理解或者认识新的知识，因此新旧知识的连接关系犹为重要。从关系来分，大致有：互补关系，扩展关系和映射关系。每种关系有各自的特点，应用方法也不尽相同，下面重点介绍各种关系的特点和应用。

互补关系

互补关系，在这里也可以称为对立关系，后面会专门写一篇关于「对比和类比」学习方法的文章，详细介绍如何应用这两种方法，这里重点分析新旧知识的互补关系。

互补，顾名思义就是相互补充的，两者一起构成一个知识概念（或者技术、功能、组件等）的两个互为相反的部分。

以整数为例，正数和负数这两个知识点是互补关系。在掌握了正数的运算方法并能熟练运行的情况下（旧知识是正数），再学习负数知识（新知识是负数），如果利用互补关系进行学习，这是本文要探讨的。

互补的两个部分，具有相同的规则性，但形式却刚好相反。

正数和负数的运算规律性都是相同的，以加法运算为例，正数和负数的加法表示量的叠加，两个同类量相加，越加则越多（绝对值越大）。但表现形式刚好相反，两正数越加越大，两负数则越加越小。

那么当学习新知识时，找到与它互补关系的旧知识，了解老知识的规律性和形式。通过上述的分析，新知识也具有相同的规律性，但它表现出来的形式却是相反的。通过这两点去理解新知识的特性，可以事半功倍。

扩展关系

扩展关系，又称延伸关系。几何上的点，延伸出去是线。点和线是为扩展关系。

一个知识点描述一个理论点，而另一个知识点在它的基础上进行扩展，描述一个更普遍的理论点，那这两个知识点就是扩展关系。

前段时间表哥打电话过来问如何求扇形的面积，我没有直接说出公式，而是通过“推导”的方式得出公式，其实这就是两个知识点具有扩展关系的典型例子

从形状来看，圆形是扇形的特殊化例子，圆是360度的，而扇形的弧度是可变的。

因此，圆只是弧度为360度的扇形特例，而扇形则是更泛化的图形，它可以是任意弧度的。那么它的面积是与弧度强相关的，当弧度为360时，它的面积是等半径的圆的面积。

可以轻易得到扇形的面积计算公式：面积 = 等半径圆的面积 X 弧度 / 360

扩展关系，是指在旧知识的基础之上，将原来知识结构中的一个或者多个元素（或因子）进行通用化后，形成新的知识和理论。

以一元方程为例，在解决实际问题时，需要增加一个变量，即将原来的常量泛化成另一个未知变量，从而形成二元方程。那么二元方程如何求解呢？

二元方程与一元方程其实是扩展关系，只要深入理解了一元方程的解法，二元方程也迎刃而解：只要将第一个变元数当成不变量，然后把方程看作只有第二个变元为未知数的方程求解，得到第二个变元与第一个变元的关系，然后再代入求解。

扩展关系知识的要点是将点知识，增加一个或者多个变元，形成一个线知识。

物理学上“点”和“线”的一个例子：

1） 一个物理静止时，它是静止状态，速度为0

2）当给它一个外力时，它做匀速运行； 比场景1）增加了变元速度

3）当再将它的运行面板调度成倾斜面时，它的速度是会变化的，出现了加速度， 比场景2）出现了加速度，增加变元加速度

4）如果再结它一个部外变化的力，它的运行轨迹又发生了变化；比场景3）增加了可变的外力，增加变元是外力

每个场景都比之前的场景更加泛化，多出现一个变元。

符合扩展关系的知识点，新知识的逻辑结构就是在旧知识的逻辑结构基础上增加一个或多个变元。

对于具有扩展关系的新知识，需要分析新知识在旧知识的基础上，将哪些因素进行通用化。然后在旧知识的基础上引入一个新变元，从而探索出新知识的行为和特点。

映射关系

每天早起床梳洗时照镜子，不知大家是否注意镜子中的那个不是真正的你，是你的对称成像。

如果你用过放大镜或者显微镜，会发现镜子里面的东西比真实世界中的放大千百倍。

如果照过哈哈镜，你发现对面的是完全陌生的人，根本不像我们本人。

没错，上述镜子中的都不是我们自己，它只不过是镜子充当一个外科整容医生，将活生生的我们，整成另一个人。

映射就相当于上在的镜子，将一个知识，通过伸缩、变形、同构等魔法手段，变成另一个知识。如果新知识与某个旧新知存在具有同构性或者相同规律性，我们称之具有映射关系。

上述中的镜子，不管如何变化，它的规律性不会丢失。如同一个人在哈哈镜面前，尽管高矮肥瘦发生的变化，但它是相形是没有变化，这就是内在规律的不变性。

对于两个知识点，要识别出它们具有映射关系是非常困难的。另外，具有映射关系的两个知识，可能属于两个不同的领域。只要它们的原理是相通的，然后就可以从一个旧知识，根据规律性，掌握新知识。

最近李笑来的公众号「学习学习再学习」中有篇文章「尹航：我的“语言学习”笔记」，提到一个绝佳的例子来说明如何通过映射关系将两个看似毫无关联的新旧知识点联系到一起。 尹航将电子领域中傅里叶变换中以频域来观察，发现由不同频率的正弦波叠加出现生活中各种形成的电磁波。由于了懂这一规律，将它应用到外语学习来，将长长的一句复杂英语，按语法域来划分，多个语法层叠加形成活生生的长句、复杂句。

所以，关键是将你掌握的旧知识，提炼它的规律，转移到新的领域，理解新知识。

如何打通新旧知识的通道

利用旧知识理解新知识，是提升学习效率和构建知识结构的绝佳方法。但实际中却没有这么容易把握。

所以，利用已旧知识理解新知识更多是一种学习框架和指导理念。它需要学习者对旧知识拥有全栈的知识结构和系统化的知识树，同时这两者的建立又依赖于“利用旧新知理解新知识”

所以，多分析，多类比，多对比是进入该通道必须不可少的手段。