算法导论(第三版)Exercises2.3

2.3-1:

3 9 26 38 41 49 52 59

3 26 41 52   9 38 49 57

3 41   52 26   38 57   9 49

3   41  52  26  38  57  9  49

2.3-2:(归并排序)

void mergeSort(int a[], int l, int r)
{
    int m;
    if(l < r)
    {
        m = (l + r) / 2;
        mergeSort(a, l, m);
        mergeSort(a, m+1, r);
        merge(a, l, r, m);
    }
}

void merge(int a[], int l, int r, int p)
{
    int i, j, k;
    int n1 = p - l + 1;
    int n2 = r - p;
    int lArray[n1], rArray[n2];

    for(i=0; i<n1; i++) lArray[i] = a[l+i];
    //for(i=0; i<n1; i++) printf(" %d ", lArray[i]);
    for(j=0; j<n2; j++) rArray[j] = a[p+j+1];
    //for(j=0; j<n2; j++) printf(" %d ", rArray[j]);
    i = 0;
    j = 0;
    for(k=l; k<=r; k++)
    {
        if(i < n1 && (j >= n2 || lArray[i] <= rArray[j]))
        {
            a[k] = lArray[i];
            ++i;
        }
        else if(j < n2 && (i >= n1 || rArray[j] < lArray[i]))
        {
            a[k] = rArray[j];
            ++j;
        }
    }
}

2.3-3:

n=2:  Tn=2lg2=2

假设 n=k时等式成立

T_k+1=2(T_k) + 2^k+1=2 * (2^k * k) + 2^k+1=2^k+1(k+1)

2.3-4:

最差情况：

1   n=2;

T_n = T_n-1+n-1;

2.3-5:(二分查找)

int binarySearch(int a[], int v, int n)
{
    int l, r, m;

    l = 0;
    r = n - 1;
    while(l <= r)
    {
        m = (l + r) / 2;
        if(v < a[m]) r = m - 1;
        else if(v > a[m]) l = m + 1;
        else return m;
    }
    return -1;
}

最差情况：

2   n=2;

T_n=T(n/2) + 1      n=2^k;

θ(lgn)

2.3-6:

无法降低运行时间

2.3-7:(参考了网友的答案，做了一点优化，希望大家能提更好的改进建议）

算法：求一个N个数的集合是否含有和为X的2个元素(需要支持c99标准)

bool sumX(int a[], int n, int x)
{
    int length, complement[n];
    mergeSort(a, 0, n-1);
    length = deduplication(a, n);
    xComplement(a, complement, length, x);
    return mergeSearch(a, complement, length);
}

bool mergeSearch(int a[], int b[], int n)
{
    int i, j;
    for(i=0, j=n-1; i<n && j>=0 && a[i]!=b[j]; )
        if(a[i] < b[j]) i++;
        else j--;
    return i<n && j>=0;
}

void xComplement(int a[], int aComplement[], int n, int x)
{
    int i;
    for(i=0; i<n; i++) aComplement[i] = x - a[i];
}

int deduplication(int a[], int n)
{
    int i, tmp[n];
    int j = 0;
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        if(i > 0 && a[i-1] != a[i]) j++;
        tmp[j] = a[i];
    }
    for(i=0; i<=j; i++) a[i] = tmp[i];
    return j+1;
}

void mergeSort(int a[], int l, int r)
{
    int m;
    if(l < r)
    {
        m = (l + r) / 2;
        mergeSort(a, l, m);
        mergeSort(a, m+1, r);
        merge(a, l, r, m);
    }
}

void merge(int a[], int l, int r, int m)
{
    int max = 1000;
    int i, j, k;
    int n1 = m - l + 1;
    int n2 = r - m;
    int lArray[n1+1], rArray[n2+1];

    for(i=0; i<n1; i++) lArray[i] = a[l+i];
    for(j=0; j<n2; j++) rArray[j] = a[m+j+1];
    lArray[n1] = max;
    rArray[n2] = max;
    i = 0;
    j = 0;
    for(k=l; k<=r; k++)
    {
        if(i < n1 && lArray[i] <= rArray[j])
        {
            a[k] = lArray[i];
            ++i;
        }
        else
        {
            a[k] = rArray[j];
            ++j;
        }
    }
}

θ(nlgn)