2301: [HAOI2011]Problem b
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Description
对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
Input
第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a、b、c、d、k
Output
共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数
Sample Input
2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2
Sample Output
14
3
HINT
100%的数据满足:1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000,1≤k≤50000
容斥原理+莫比乌斯反演
首先根据容斥原理,可以将一个询问转化成四个询问(a-1,c-1) (a-1,d) (b,c-1) (b,d),每次询问有多少个数对(x,y)满足1≤x≤n,1≤y≤m且gcd(x,y)=k。
这个问题等价于有多少个数对(x,y)满足1≤x小于等于(n/k),1≤y≤(m/k)且x与y互质。
这时候我们就可以考虑莫比乌斯反演了。
令f(i)表示1≤x≤n,1≤y≤m且gcd(x,y)=i的数对(x,y)的个数;g(i)表示1≤x≤n,1≤y≤m且i|gcd(x,y)的数对(x,y)的个数。
那么显然有g(i)=(n/i)*(m/i)。
根据莫比乌斯定理有f(i)=∑(i|d) mu(d/i)*g(d)。
这样枚举每一个k的倍数,就可以将每次询问做到O(n)。
但这还是有点慢,于是我们考虑进一步优化。我们维护莫比乌斯函数的前缀和,然后对于(n/i)和(m/i)相同的部分分块处理,最多有4*sqrt(n)块。所以单次询问复杂度就降到O(sqrt(n)),总复杂度为O(n*sqrt(n))。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++) #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--) #define ll long long #define maxn 50005 using namespace std; int t,a,b,c,d,k,tot; int mu[maxn],sum[maxn],pri[maxn]; bool mark[maxn]; inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } inline void getmu() { mu[1]=1; F(i,2,50000) { if (!mark[i]){mu[i]=-1;pri[++tot]=i;} for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=50000;j++) { mark[i*pri[j]]=true; if (i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;} else mu[i*pri[j]]=-mu[i]; } } F(i,1,50000) sum[i]=sum[i-1]+mu[i]; } inline int calc(int n,int m) { if (n>m) swap(n,m); int ans=0,pos; for(int i=1;i<=n;i=pos+1) { pos=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i); } return ans; } int main() { getmu(); t=read(); while (t--) { a=read();b=read();c=read();d=read();k=read(); a--;c--; a/=k;b/=k;c/=k;d/=k; int ans=calc(a,c)+calc(b,d)-calc(a,d)-calc(b,c); printf("%d\n",ans); } return 0; }
时间: 2024-10-29 16:39:57