第四届蓝桥杯编程题:带分数 （转）

100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714

还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197

注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。

类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。

题目要求：
从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)
程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！

例如：
用户输入：
100
程序输出：
11

再例如：
用户输入：
105
程序输出：
6

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 64M
CPU消耗  < 3000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.6及以上版本的特性。

注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。

分析：这道题初看起来第一感觉就是用暴力破解应该可以搞定，但是时间复杂度应该会相当可观，仔细观察，会发现这道题无非是全排列的一种运用，把等式定义为：

N=A+B/C ，则ABC组合在一起就是1到9的一个全排列，所以可以把问题转换成对于一个9位数的数字，如何将其划分为A、B、C三部分，使得其满足N=A+B/C（隐含条件:

B%C==0）,对于一个9位数可以这样考虑：A是不可能大于N的，所以A的位数只可能是从1位到和N相同位数这个范围，确定了A的位数之后，剩下的就是B和C的总位数，

B数字的开始位置即A数字的下一位，C数字的最后一位就是整个9位数的最后一位，那如何确定B的结束位置呢？

这里有个小技巧，可以大大减少可能性的判断：

假设A的结束位置为 aEnd,则aEnd+1~9就是B和C的位置，在这个位置范围内，B最少占据了一半的数字，否则B/C就不能整除了，所以可以从aEnd+1~9的中间位置开始

确定B的结束位置，这时候可以从中间位置开始向后确定B的结束位置，一直到8的位置，确定了B的结束位置，则A、B、C三个数字的具体值就都可以确定了，判断是否符

合等式N=A+B/C，符合则输出。

以上确定B的结束位置的方法其实不怎么好，因为还是会浪费一些时间（自己模拟下就知道了），不过已经可以在规定的时间内得出答案了。

这里再介绍一种确定B结束位置的方法，可以让性能再提高一些：

观察等式：N=A+B/C，可以转换成==》B=(N-A)*C，N和A确定了(先确定A的结束位置后，再来确定B的结束位置的)，C的最后一个数字确定了(整个9位数最后一位)，即可以确定B最后一个数字了(这里将其定义为BL)，这样可以从以上的aEnd+1~9的中间位置开始找，直到8，当数字为BL时，则判读是否符合等式：N=A+B/C，可以想想，其实这种等于BL的位置至多有一次(因为数字1到9不能重复出现)，所以第一次找到和BL匹配的数字的时候就不用再往后找了。用这种方法，提高的性能还是非常可观的！

思想其实挺简单，想不到打成字这么麻烦，将就着看吧，以下为java版的代码：

[java] view plaincopyprint?

  1. import java.util.Scanner;
  2. public class ys_09 {
  3. public static void main(String[] args) {
  4. //将等式定义为：N=A+B/C
  5. Scanner scanner=new Scanner(System.in);
  6. N=scanner.nextInt();
  7. long start=System.currentTimeMillis();
  8. int[] s=new int[]{1,2,3,4,5,6,7,8,9};
  9. NLength=(N+"").length();
  10. allRange(s, 0, s.length-1);
  11. long end=System.currentTimeMillis();
  12. System.out.println("耗时:"+(end-start)+" ms");
  13. System.out.println("总数为:"+kinds+" 种");
  14. }
  15. public static int N;
  16. public static int NLength;//N数字的长度
  17. public static int kinds;
  18. public static void process(int[] s){
  19. String str="";
  20. for(int i=0;i<9;i++) str+=s[i];
  21. int A,B,C,NMA,BC,BMCL,BLastNumber;
  22. //A的位数
  23. for(int i=1;i<=NLength;i++){
  24. /*
  25. //方法1
  26. A=Integer.valueOf(str.substring(0, i));
  27. NMA=N-A;//N减去A的值
  28. if(NMA<=0)return;
  29. BC=9-i;//B和C还有多少为可用
  30. BMCL=(NMA+"").length();//B/C的长度
  31. //确定的B的结束为止
  32. for(int j=i+BC/2;j<=8;j++){//可以优化这里
  33. B=Integer.valueOf(str.substring(i,j));
  34. C=Integer.valueOf(str.substring(j,9));
  35. if(B%C==0&&B/C==NMA){
  36. kinds++;
  37. System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C);
  38. }
  39. }
  40. */
  41. //方法2
  42. A=Integer.valueOf(str.substring(0, i));
  43. NMA=N-A;
  44. if(NMA<=0)return;
  45. BC=9-i;//B和C总共多少位
  46. BLastNumber=(NMA*s[8])%10;//B最后的数字
  47. //j为B最后一个数字的位置
  48. //B最少占有B和C全部数字的一半，否则B/C不可能为整数
  49. for(int j=i+BC/2-1;j<=7;j++){
  50. //找到符合的位置
  51. if(s[j]==BLastNumber){
  52. B=Integer.valueOf(str.substring(i,j+1));
  53. C=Integer.valueOf(str.substring(j+1,9));
  54. if(B%C==0&&B/C==NMA){
  55. kinds++;
  56. System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C);
  57. }
  58. //符合要求的位置只可能出现一次
  59. break;
  60. }
  61. }
  62. }
  63. }
  64. public static void swap(int[] s,int a,int b){
  65. if(a==b)return;
  66. int tmp=s[a];
  67. s[a]=s[b];
  68. s[b]=tmp;
  69. }
  70. //全排列
  71. public static void allRange(int[] s,int k,int m){
  72. if(k==m){
  73. process(s);
  74. return;
  75. }
  76. else{
  77. for(int i=k;i<=m;i++){
  78. swap(s,k,i);
  79. allRange(s, k+1, m);
  80. swap(s,k,i);
  81. }
  82. }
  83. }
  84. }
import java.util.Scanner;

public class ys_09 {

	public static void main(String[] args) {
		//将等式定义为：N=A+B/C
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		N=scanner.nextInt();
		long start=System.currentTimeMillis();
		int[] s=new int[]{1,2,3,4,5,6,7,8,9};
		NLength=(N+"").length();
		allRange(s, 0, s.length-1);
		long end=System.currentTimeMillis();
		System.out.println("耗时:"+(end-start)+" ms");
		System.out.println("总数为:"+kinds+" 种");
	}
	public static int N;
	public static int NLength;//N数字的长度
	public static int kinds;
	public static void process(int[] s){
		String str="";
        for(int i=0;i<9;i++) str+=s[i];
		int A,B,C,NMA,BC,BMCL,BLastNumber;
		//A的位数
		for(int i=1;i<=NLength;i++){

			/*
			//方法1
			A=Integer.valueOf(str.substring(0, i));
			NMA=N-A;//N减去A的值
			if(NMA<=0)return;
			BC=9-i;//B和C还有多少为可用
			BMCL=(NMA+"").length();//B/C的长度
			//确定的B的结束为止
			for(int j=i+BC/2;j<=8;j++){//可以优化这里
				B=Integer.valueOf(str.substring(i,j));
				C=Integer.valueOf(str.substring(j,9));
				if(B%C==0&&B/C==NMA){
					kinds++;
					System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C);
				}
			}
			*/

			//方法2
			A=Integer.valueOf(str.substring(0, i));
			NMA=N-A;
			if(NMA<=0)return;
			BC=9-i;//B和C总共多少位

			BLastNumber=(NMA*s[8])%10;//B最后的数字
			//j为B最后一个数字的位置
			//B最少占有B和C全部数字的一半，否则B/C不可能为整数
			for(int j=i+BC/2-1;j<=7;j++){
				//找到符合的位置
				if(s[j]==BLastNumber){
					B=Integer.valueOf(str.substring(i,j+1));
					C=Integer.valueOf(str.substring(j+1,9));
					if(B%C==0&&B/C==NMA){
						kinds++;
						System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C);
					}
					//符合要求的位置只可能出现一次
					break;
				}
			}
		}
	}
	public static void swap(int[] s,int a,int b){
		if(a==b)return;
		int tmp=s[a];
		s[a]=s[b];
		s[b]=tmp;
	}
	//全排列
	public static void allRange(int[] s,int k,int m){
		if(k==m){
			process(s);
			return;
		}
		else{
			for(int i=k;i<=m;i++){
				swap(s,k,i);
				allRange(s, k+1, m);
				swap(s,k,i);
			}
		}
	}
}

输入:100

输出:

[java] view plaincopyprint?

    1. 100=3+69258/714
    2. 100=82+3546/197
    3. 100=81+5643/297
    4. 100=81+7524/396
    5. 100=94+1578/263
    6. 100=96+2148/537
    7. 100=96+1428/357
    8. 100=96+1752/438
    9. 100=91+5742/638
    10. 100=91+5823/647
    11. 100=91+7524/836
    12. 耗时:554 ms
    13. 总数为:11 种
时间： 2024-10-15 20:33:15

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