POJ 1637 Sightseeing tour 混合图欧拉回路存在性判断

没有想到网络流还能解决这一类问题，完全想不到@[email protected]

一开始把所有的无向边制定任意方向有当做有向边看，然后统计每个点的入度和出度。以前有向图的欧拉回路判定是每个点的入读都等于出度，这样可以保证可以回到起点，现在在一些边可以调换方向的情况下，所有定点的入度和出度之差必定为偶数，因为调换任意一条边的方向都会使两个定点的入度和出度变化2，所以要构成一个欧拉回路所有点的入度和出度之差都为偶数，并设差为deg。

现在问题转化成了能否通过改变一些边的方向来是的所有点的入度出度都为0，因为有向边的方向已经确定，不用理会，把他们全部都删去。剩下的边中如果有出度大于入度的，肯定要调换-deg/2条边来使其变成0，建立源点到这些点的边，容量为-deg/2，同理，有出入大于入度的，就建立这些点到汇点的边，容量同样为deg/2。其他的边容量都为1，然后做一遍最大流，如果流量和需要调换的边数相等，即源点出去的边全部都满载，就有欧拉回路存在，否则不存在欧拉回路。

为什么这样子是成立的，我的想法是这样的，除了连接源点和汇点的边之外，其他的边的容量都为1，1的流量对应的就是一条边，源点连接到一个点的时候的容量为t，如果满载相当于这个点出发的t条边满载，相当于调换了t条边，但是这样子会影响后面的边的度，不过因为流会一直流到汇点，中途所有的满载的边都是要调换的，所以中间原本度为0的点的度其实到最后不会改变。

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#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <climits>
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#include <iostream>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <list>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 205;
const int INF = INT_MAX / 3;

struct Edge {
    int u,v,cap;
    Edge(int u,int v,int cap):u(u),v(v),cap(cap) {}
};

int n,m,incnt[maxn],outcnt[maxn];
int deg[maxn],s,t;
vector<Edge> edges;
vector<int> e[maxn];

void adde(int u,int v,int w) {
    int m = edges.size();
    edges.push_back(Edge(u,v,w));
    edges.push_back(Edge(v,u,0));
    e[u].push_back(m);
    e[v].push_back(m ^ 1);
}

int level[maxn],q[maxn * 2],qs,qe;
bool bfs() {
    //建立层次网络
    memset(level,0,sizeof(level));
    level[s] = 1;
    qs = qe = 0;
    q[qe++] = s;
    while(qs < qe) {
        int now = q[qs++],nm = e[now].size();
        if(now == t) break;
        for(int i = 0;i < nm;i++) {
            Edge &ne = edges[e[now][i]];
            if(ne.cap && level[ne.v] == 0) {
                level[ne.v] = level[now] + 1;
                q[qe++] = ne.v;
            }
        }
    }
    return level[t];
}

int dfs(int now,int alpha) {
    if(now == t) return alpha;
    int sum = 0,nm = e[now].size();
    for(int i = 0;i < nm;i++) {
        Edge &ne = edges[e[now][i]];
        if(level[now] + 1 == level[ne.v] && ne.cap && alpha) {
            int ret = dfs(ne.v,min(alpha,ne.cap));
            ne.cap -= ret; edges[e[now][i] ^ 1].cap += ret;
            sum += ret; alpha -= ret;
        }
    }
    if(sum == 0) level[now] = -1;
    return sum;
}

void dinic() {
    while(bfs()) dfs(s,INF);
}

bool solve() {
    s = 0; t = n + 1;
    //判断入度出度之差是否为偶数
    for(int i = 1;i <= n;i++) {
        deg[i] = incnt[i] - outcnt[i];
        if(deg[i] & 1) return false;
    }
    //建立容量网络
    for(int i = 1;i <= n;i++) {
        //如果入度小于出度,建立从起点到这个点的边，容量为deg/2
        if(deg[i] < 0) adde(s,i,-deg[i] / 2);
        //如果出度大于入读，建立从当前点到汇点的边，容量同样为deg/2
        if(deg[i] > 0) adde(i,t,deg[i] / 2);
    }
    //计算最大流
    dinic();
    //判断从源点出发的所有边是否满流
    int m = e[s].size();
    for(int i = 0;i < m;i++) {
        if(edges[e[s][i]].cap != 0) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        edges.clear();
        for(int i = 0;i <= n + 1;i++) e[i].clear();
        memset(incnt,0,sizeof(incnt));
        memset(outcnt,0,sizeof(outcnt));
        for(int i = 1;i <= m;i++) {
            int u,v,c; scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
            //先将无向边全部作为有向边处理
            incnt[v]++; outcnt[u]++;
            //无向边存起来
            if(c == 0) adde(u,v,1);
        }
        if(solve()) puts("possible");
        else puts("impossible");
    }
    return 0;
}

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