最大公约数的两种解法（欧几里得算法和素数分解）

方法一： 欧几里得算法，又称辗转相除法

定理（欧几里得算法）：设a和b是正整数，则存在最大求最大公因子d=(a,b)的一种算法，且存在求一组整数s,t使得d = sa+tb

举个例子：求168和60的最大公约数？

168 = 2 * 60 + 48

60  = 1 * 48 +12

48  = 4 * 12

由此得最大公约数为12

关于最大公倍数

C语言程序代码：很简单就不加注释了

#include<stdio.h>
#define SWAP(a,b) {a=a+b; b=a-b; a=a-b; }
int gcd(int a,int b)
{
	if(a==b)
		return a;
	if(a<b)
		SWAP(a,b);
	int temp = 0;
	while(a%b)
	{
		temp = b;
		b = a % b;
		a = temp;
	}
	return b;
}
int main()
{
	int a = 168;
	int b = 60;
	printf("最大公约数是: %d\n",gcd(a,b));
	return 0;
}

方法二：素数分解

我们知道每一个大于等于2的整数都可以表示为几个素数相乘的形式（算术基本定理）而且有其对应的唯一的分解式，利用这点我们也可以用来求解最大公因子（最大公约数）

例如：在上题中168 可以表示为pow(2,3)*pow(3,1)*pow(5,0)*pow(7,1)

60可以表示为pow(2,2)*pow(3,1)*pow(5,1)*pow(7,0)

所以(168,60) = pow*(2,2)*pow(3,1)*pow(5,0)*pow(7,0) = 12

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define COUNT_PRIME 10
void Divisor(int num,int prime[],int index,int& loop)//求分解的因子的个数
{
	if(num==1)
		return;
	int count = 0;
	while(num%index==0)
	{
		num /= index;
		count++;
	}
	if(index==2)
	{
		prime[index-2] = count;
		index += 1;
	}
	else
	{
		prime[index/2] = count;
		index += 2;
	}
	Divisor(num,prime,index,loop);
	loop += 1;
}
int Gcd(int a[],int b[],int loop_a,int loop_b)//求解最大公因子
{
	int gcd = a[0]<b[0]?pow(2,a[0]):pow(2,b[0]);
	for(int i=1,j=3;i<loop_a||i<loop_b;i++,j+=2)
	{
		int num = a[i]<b[i]?pow(j,a[i]):pow(j,b[i]);
		gcd *= num;
	}
	return gcd;
}
int main()
{
	int a = 60,b = 168;
	int prime_a[COUNT_PRIME] = {0};
	int prime_b[COUNT_PRIME] = {0};
	int loop_a = 0,loop_b = 0;
	Divisor(a,prime_a,2,loop_a);
	Divisor(b,prime_b,2,loop_b);
	int gcd = Gcd(prime_a,prime_b,loop_a,loop_b);
	printf("最大公约数是: %d\n",gcd);
	printf("最大公倍数是: %d\n",a*b/gcd);
	return 0;
}

这里主要的函数在于求各个因子的个数，我使用了递归来解决这个问题