hdoj 5072 Coprime 【想法+容斥原理】

题目：hdoj 5072 Coprime

题意：给出n个数，然后让你从其中任意选出三个数满足其中三个数都互质或者都不互质，让你求满足这样选择条件的选择种数。

分析：首先我们从反面考虑这个问题，一个满足条件的选择{ a , b , c }，题目要求[(a, b) = (b, c) = (a, c) = 1] or [(a, b) ≠ 1 and (a, c) ≠ 1 and (b, c) ≠ 1]，其中(a,b)是a和b的最大公约数。

那么其反面就是，[(a, b) = (b, c) =1 and (a, c)
 ≠1] or [(a, b) = 1 and (a, c) ≠ 1 and (b, c) ≠ 1],即其中三个元素的组合两种互质，一种不互质或者两种不互质，一种互质。那么当其中一个数 a 固定的时候，另外两个元素的选择只能是一个与 a 互质，一个不互质。

既然这样我们就可以转化为快速求序列中一个数 x 与其他数互质数的个数，不互质 = n - 互质 - 1（当前元素）.

这时候就用到容斥原理，对于一个数 x ，我们首先分解质因子。比如30 ，质因子有2，3，5

那么与其互质的数的个数 = num【2】 + num【3】 + num【5】 - num【2*3】 - num【2*5】 - num【3*5】 + num【2*3*5】

其中num【x】 表示在整个序列中以 x 为因子的数的个数。

这样就可以解了

是一个质量比较高的题目，不止考数学，思想，编码的时候要用到状态压缩，所以是一道质量相当高的题目

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
const int N = 101000;

int num[N];
int fact[N];
bool vis[N];

bool test(int x)  ///素数测试
{
    if(x==1)
        return false;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
            return false;
    }
    return true;
}
long long solve(int n)
{
    long long ans = 0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int res = 0,tmp = num[i];
        vector<int> v;
        for(int j=2;j*j<=tmp;j++)  ///分解素因子
        {
            if(tmp%j==0)
            {
                v.push_back(j);
                while(tmp%j==0)
                    tmp/=j;
            }
        }
        if(test(tmp))
            v.push_back(tmp);
        for(int st = 1;st<(1<<v.size());st++)
        {
            int pps = 0,kks = 1;
            for(int j=0;j<v.size();j++)
            {
                if(st&(1<<j)){
                    pps++;
                    kks *= v[j];
                }
            }
            if(pps&1)
                res+=fact[kks];
            else
                res-=fact[kks];
        }
        if(res==0)
            continue;
        ans+=(long long)(res-1)*(n-res);
        v.clear();
    }
    return ans/2;
}
int main()
{
    //freopen("Input.txt","r",stdin);
    int n,T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        memset(fact,0,sizeof(fact));
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",&num[i]);
            vis[ num[i] ] = true;
        }
        for(int i=2;i<N;i++)
        {
            for(int j=i;j<N;j+=i)
            {
                if(vis[j])
                    fact[i]++;
            }
        }
        long long count = (long long)n * (n-1) * (n-2);
        count/=6;
        printf("%lld\n",count-solve(n));
    }
    return 0;
}