一：HMM解码问题
（1）给定一个观察序列O=O1O2...OT,和模型μ=（A,B,π），如何快速有效地选择在一定意义下“最优”的状态序列Q=q1q2...qT，使该状态最好地解释观察序列。
（2）最可能的隐藏状态序列(Finding most probable sequence of hidden states)；对于一个特殊的隐马尔科夫模型(HMM)及一个相应的观察序列，我们常常希望能找到生成此序列最可能的隐藏状态序列。
二：实例篇
（1）假设连续观察3天的海藻湿度为(Dry,Damp,Soggy),求这三天最可能的天气情况。天气只有三类(Sunny,Cloudy,Rainy)，而且海藻湿度和天气有一定的关系。
已知：
1. 隐藏的状态：Sunny,Cloudy, Rainy;海藻湿度有四类{Dry,Dryish,Damp,Soggy }
2. 观察状态序列：{Dry, Damp, Soggy };
3. 初始状态序列：Sunny(0.63),Cloudy(0.17),Rainy(0.20);
4. 状态转移矩阵
Sunny
Cloudy Rainy
Sunny 0.5
0.375 0.125
Cloudy 0.25
0.125 0.625
Rainy 0.25
0.375 0.375
Cloudy(昨天)->Sunny(今天)的概率是0.25;
Sunny(昨天)->Rainy(今天)的概率是0.125.
5. 混淆矩阵（海藻湿度与天气的相关性）：
Dry
Dryish Damp
Soggy
Sunny 0.6
0.2 0.15
0.05
Cloudy 0.25
0.25 0.25
0.25
Rainy 0.05
0.10 0.35
0.50
（2）计算方法：
由HMM可知，Day2的天气仅取决于Day1；Day3的天气又只取决于Day2的天气。
step1：Day1由于是初始状态，我们分别求
P(Day1-Sunny)=0.63*0.6;
P(Day1-Cloudy)=0.17*0.25;
P(Day1-Rain)=0.20*0.05;
Choose max{ P(Day1-Sunny) , P(Day1-Cloudy),P(Day1-Rainy)}, 得到P(Day1-Sunny)最大，得出第1天Sunny的概率最大。
step2: Day2的天气又取决于Day1的天气状况，同时也受Day2观察的海藻情况影响。
P(Day2-Sunny)= max{ P(Day1-Sunny)*0.5, P(Day1-Cloudy)*0.25, P(Day1-Rainy)*0.25} *0.15;
P(Day2-Cloudy)= max{ P(Day1-Sunny)*0.375, P(Day1-Cloudy)*0.125, P(Day1-Rainy)*0.625} *0.25;
P(Day2-Rainy)= max{ P(Day1-Sunny)*0.125, P(Day1-Cloudy)*0.625 , P(Day1-Rainy)*0.375} *0.35;
Choosemax{ P(Day2-Sunny) , P(Day2-Cloudy), P(Day2-Rainy)},得到P(Day2-Rainy)最大，得出第2天Rainy的概率最大。
故{Sunny,Rainy}是前两天最大可能的天气序列。
step3: Day3的天气又取决于Day2的天气状况，同时也受Day3观察的海藻情况影响。
P(Day3-Sunny)= max{ P(Day2-Sunny)*0.5, P(Day2-Cloudy)*0.25, P(Day2-Rainy)*0.25} *0.05;
P(Day3-Cloudy)= max{ P(Day2-Sunny)*0.375, P(Day2-Cloudy)*0.125, P(Day2-Rainy)*0.625} *0.25;
P(Day3-Rainy)= max{ P(Day2-Sunny)*0.125, P(Day2-Cloudy)*0.625, P(Day2-Rainy)*0.375} *0. 05;
Choosemax{ P(Day3-Sunny) , P(Day3-Cloudy), P(Day3-Rainy)},得到 P(Day3-Rainy)最大，得出第3天Rainy的概率最大。
(3)代码实现
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
/* 题目描述：给定一个观察序列O=O1O2...OT,和模型μ=（A,B,π），
如何快速有效地选择在一定意义下“最优”的状态序列Q=q1q2...qT，
使该状态最好地解释观察序列。
下面a是状态转移矩阵； b是发射矩阵，list 是观察序列；
*/
const int HID_STATUSES = 3; // 隐藏的状态个数
const int VIS_ST = 4; // 观察到的实际所有可能的情况（状态）个数
const int N = 3; // 观察的天数（序列长度）
int main()
{
float a[HID_STATUSES][HID_STATUSES] = {{0.5,0.375,0.125},{0.25,0.125,0.625},{0.25,0.375,0.375}};//状态转移矩阵
float b[HID_STATUSES][VIS_ST] = {{0.6,0.2,0.15,0.05},{0.25,0.25,0.25,0.25,},{0.05,0.10,0.35,0.50,}};//b是发射矩阵
float ini[HID_STATUSES] = {0.63,0.17,0.20};// 初始的
float result[N][HID_STATUSES];
int list[N] = {0,2,3};// 测试用的观察到的状态序列,4天的观测值；由于就有2中观察状态，所以用
// 0 和 1 区分，实际中应该是input的，以及观察的天数也是input的或者read file
int max[N][HID_STATUSES];
float tmp;
int i,j,k;
//step1:Initialization，其中{0.2,0.4,0.4} 是π
for(i=0;i<HID_STATUSES;++i)
{
result[0][i] = ini[i]*b[i][list[0]];
}
int count = 1, max_node;// count 是list的下标，从1开始，第一天是step1已经初始化
float max_v;
//step2:归纳运算 ，i 从1开始，应为step1已经初始化了
for (i=1; i<N; i++)
{
for(j=0; j<HID_STATUSES; j++)
{
tmp = result[i-1][0] * a[0][j] * b[j][list[count]];
max[i][j] = 0;
for(k=1; k<HID_STATUSES; k++)
{
if(result[i-1][k] * a[k][j] * b[j][list[count]] > tmp)
{
tmp = result[i-1][k] * a[k][j]* b[j][list[count]];
max[i][j] = k;
}
result[i][j] = tmp;
}
max_v = result[N-1][0];
max_node = 0;
for (k=1; k<HID_STATUSES; k++)
{
if(result[N-1][k] > max_v)
{
max_v = result[N-1][k];
max_node = k;
}
}
}
count += 1;
}
//step3:终结
for (i=0; i<N; i++)
{
for(j=0; j<HID_STATUSES; j++)
{
printf("%d %d %f\n",i+1,j+1,result[i][j]);
}
}
printf("Pmax= %f\n", max_v);
printf("step%d: %d \n",N,max_node+1);
//step4:回溯
for(k=N-1; k>=1; k--)
{
printf("step%d: %d \n",k, max[k][max_node]+1);
max_node = max[k][max_node];
}
return 0;
}
（4）运行结果：
