2014.07.08 22:43
简介：
“搜索”与“剪枝”几乎是如影随形的。此处的“搜索”指的是带有回溯算法的深度优先搜索。
在之前的“Minimax策略”中我们给出了一个三连棋的程序，运行后你就知道计算一步棋要花多少时间。
为了计算最优的一步棋，我们可能需要递归9万多次。如果毫无疑问这种阶乘式的穷举过程必须通过剪枝来加速。
本篇介绍一种用于Minimax策略的剪枝思路——α-β剪枝。
剪枝的英语是pruning，所以不要想当然说成trimming。
图示：
在上一篇讲解Minimax策略的博文中我们给出了一棵博弈树：
如果按照这棵树的形状来看，延伸下去应该会造成指数级的时间增长。
那么如果我们想做到“全知全能”，就得在下第一步棋的时候穷举所有可能的结局。因此你走一步棋就得推理9万多次。
按照这种脑力消耗，就是诸葛亮也吃不消，于是我们有两种办法可以偷懒：
1. 截断：我的脑容量没那么大，所以我只考虑三步棋以内的结果。三步棋之外的结果，姑且不管了。
2. 剪枝：有些结局实际上根本不需要分析，因为我们有充分的理由提前放弃那条路径。
本次不考虑截断的问题，只谈剪枝。
我们将刚才那棵博弈树中的两个结点标记为红色：
此处我们强调两条性质：
1. 对于Min层的每个节点，它的任何子节点的值都不小于它自身。
2. 对于Max层的每个节点，它的任何子节点的值都不大于它自身。
这棵树中78和36两个结点下方的节点不会被访问到，因为没有必要。
注意78所处的是Min层，对手为了使我的利益最小化，会尽力找出最小值。而68比78小，因此在78的下方不可能找到小于68的节点。所以没有必要继续深入78中。
36的道理相同，只不过处于Max层，所以解释自然是相反的。
在每一层都可能会有这样的节点，因此随时留意这样的剪枝机会，能极大地提高效率。
如果我没记错，经过这种剪枝的程序最多只需要递归一百多次，和9万多次相比确实快了不少。
因为Min和Max层交替出现，因此这种剪枝也需要两套代码逻辑，分别称为α剪枝与β剪枝。二者合称α-β剪枝。
教材中只给出了其中一个剪枝的伪代码，如果你没想明白，肯定写不出另一个的。
接下来请运行代码吧，看看效率上的差异。不过可能的话，我还是建议你在不看代码的情况下，自己修改三连棋的程序来实现α-β剪枝。
别忘了确保程序的正确性：如果你赢了电脑，那程序肯定是错的。
（提问：对于一个没有必胜策略的游戏，完美的AI是无法打败的，你只能打平手或者输给它，是这样吗？）
实现：
1 // Optimization for Minimax game strategy, using Alpha-Beta Pruning.
2 // You can watch over the ‘function_call_count‘ variable.
3 #include <iostream>
4 #include <vector>
5 using namespace std;
6
7 int function_call_count;
8
9 bool computerWin(const vector<int> &board)
10 {
11 int i, j;
12
13 for (i = 0; i < 3; ++i) {
14 for (j = 0; j < 3; ++j) {
15 if (board[i * 3 + j] != -1) {
16 break;
17 }
18 }
19 if (j == 3) {
20 return true;
21 }
22 }
23
24 for (i = 0; i < 3; ++i) {
25 for (j = 0; j < 3; ++j) {
26 if (board[j * 3 + i] != -1) {
27 break;
28 }
29 }
30 if (j == 3) {
31 return true;
32 }
33 }
34
35 if (board[0] == board[4] && board[4] == board[8] && board[8] == -1) {
36 return true;
37 }
38
39 if (board[2] == board[4] && board[4] == board[6] && board[6] == -1) {
40 return true;
41 }
42
43 return false;
44 }
45
46 bool humanWin(const vector<int> &board)
47 {
48 int i, j;
49
50 for (i = 0; i < 3; ++i) {
51 for (j = 0; j < 3; ++j) {
52 if (board[i * 3 + j] != 1) {
53 break;
54 }
55 }
56 if (j == 3) {
57 return true;
58 }
59 }
60
61 for (i = 0; i < 3; ++i) {
62 for (j = 0; j < 3; ++j) {
63 if (board[j * 3 + i] != 1) {
64 break;
65 }
66 }
67 if (j == 3) {
68 return true;
69 }
70 }
71
72 if (board[0] == board[4] && board[4] == board[8] && board[8] == 1) {
73 return true;
74 }
75
76 if (board[2] == board[4] && board[4] == board[6] && board[6] == 1) {
77 return true;
78 }
79
80 return false;
81 }
82
83 bool fullBoard(const vector<int> &board)
84 {
85 for (int i = 0; i < 9; ++i) {
86 if (board[i] == 0) {
87 return false;
88 }
89 }
90
91 return true;
92 }
93
94 void findComputerMove(vector<int> &board, int &best_move, int &result,
95 int alpha, int beta)
96 {
97 void findHumanMove(vector<int> &, int &, int &, int, int);
98 int dc, i, response;
99
100 ++function_call_count;
101 best_move = -1;
102
103 if (fullBoard(board)) {
104 result = 0;
105 return;
106 }
107
108 if (computerWin(board)) {
109 result = -1;
110 return;
111 }
112
113 result = alpha;
114 for (i = 0; i < 9 && result > beta; ++i) {
115 if (board[i] != 0) {
116 continue;
117 }
118 board[i] = -1;
119 findHumanMove(board, dc, response, result, beta);
120 board[i] = 0;
121
122 if (best_move == -1 || response < result) {
123 result = response;
124 best_move = i;
125 }
126 }
127 }
128
129 void findHumanMove(vector<int> &board, int &best_move, int &result, int alpha,
130 int beta)
131 {
132 void findComputerMove(vector<int> &, int &, int &, int, int);
133 int dc, i, response;
134
135 ++function_call_count;
136 best_move = -1;
137
138 if (fullBoard(board)) {
139 result = 0;
140 return;
141 }
142
143 if (humanWin(board)) {
144 result = 1;
145 return;
146 }
147
148 result = beta;
149 for (i = 0; i < 9 && result < alpha; ++i) {
150 if (board[i] != 0) {
151 continue;
152 }
153 board[i] = 1;
154 findComputerMove(board, dc, response, alpha, result);
155 board[i] = 0;
156
157 if (best_move == -1 || response > result) {
158 result = response;
159 best_move = i;
160 }
161 }
162 }
163
164 void printBoard(const vector<int> &board)
165 {
166 cout << " 1 2 3" << endl;
167 int i, j;
168
169 for (i = 0; i < 3; ++i) {
170 cout << i + 1;
171 for (j = 0; j < 3; ++j) {
172 cout << ‘ ‘;
173 switch(board[i * 3 + j]) {
174 case -1:
175 cout << ‘X‘;
176 break;
177 case 0:
178 cout << ‘.‘;
179 break;
180 case 1:
181 cout << ‘O‘;
182 break;
183 }
184 }
185 cout << endl;
186 }
187 }
188
189 int main()
190 {
191 vector<int> board;
192 int n;
193 int result;
194
195 board.resize(9, 0);
196 while (cin >> n) {
197 if (n < 0 || n >= 9 || board[n]) {
198 cout << "Invalid move" << endl;
199 continue;
200 }
201
202 board[n] = 1;
203 printBoard(board);
204 if (humanWin(board)) {
205 cout << "You win." << endl;
206 break;
207 }
208
209 if (fullBoard(board)) {
210 cout << "Draw." << endl;
211 break;
212 }
213
214 result = 1;
215 function_call_count = 0;
216 findComputerMove(board, n, result, 1, -1);
217 cout << "Number of function calls: " << function_call_count << endl;
218 board[n] = -1;
219 printBoard(board);
220 if (computerWin(board)) {
221 cout << "Computer win." << endl;
222 break;
223 }
224
225 if (fullBoard(board)) {
226 cout << "Draw." << endl;
227 break;
228 }
229 }
230
231 return 0;
232 }
《数据结构与算法分析：C语言描述》复习——第十章“算法设计技巧”——Alpha-Beta剪枝,布布扣,bubuko.com