Unique Binary Search Trees-LeetCode

本题是求有n个节点的二叉搜索树有多少种。二叉搜索树中的根节点和子节点要满足一定的性质，要先确定根节点，才能确定子节点。以i为根节点的二叉搜索树共有其左子树的种数乘以右子树的种数这么多种，因此，可以用一个循环穷举所有根节点的可能性，即根节点为0~n。然而，怎么知道当根节点为i时，其左右子树有多少种呢？我们采用自底向上方法即动态规划，计算节点数分别为0~n时二叉搜索树的种数。

class Solution{

public:
    int numTrees(int n)
    {
        vector<int> num(n + 1, 1);

        for (int i = 2; i <= n; ++i)
        {
            num[i] = 0;

            for (int j = 0; j < i; ++j)
            {
                num[i] += (num[j] * num[i-1-j]);
            }
        }

        return num[n];
    }
};

这是个两层循环，外层循环列举节点数为2~n时的情况（节点数为0和1的情况可以直接得到结果，作为迭代初始值），内层循环计算当节点数为i时，二叉搜索树有多少种：根节点为j+1，其左子树以j为根节点（若j 为0，则是棵空树），右子树以i-1-j为根节点，则以j为根节点的二叉搜索树之种数为其左子树的种数乘以右子树的种数；列举j 的值，分别计算以j+1为根节点的二叉搜索树的种数，对其求和，即得节点数为i时二叉搜索树的种数。

自底向上和动态规划的核心思想在于从简单的情况迭代计算出复杂的情况，当计算节点数为i的二叉搜索树的种数时，节点数小于i的二叉搜索树之种数已计算完成，可以直接使用，而自顶向下或递归方法会重复计算子问题。