这几天在看《统计学习方法》这本书，发现 梯度下降法 在 感知机 等机器学习算法中有很重要的应用，所以就特别查了些资料。
一.介绍
梯度下降法（gradient descent）是求解无约束最优化问题的一种常用方法，有实现简单的优点。梯度下降法是迭代算法，每一步需要求解目标函数的梯度向量。
二.应用场景
1.给定许多组数据（xi, yi），xi （向量）为输入，yi为输出。设计一个线性函数y=h（x）去拟合这些数据。
2.感知机：感知机（perceptron）为二类分类的线性分类模型。 输入为实例的特征向量，输出为实例的类别， 取+1 和 -1 二值。
下面分别对这两种应用场景进行分析。
1.对于第一种场景:
既然是线性函数，在此不妨设为 h(x) = w0*x0 + w1*x1。
此时我们遇到的问题就是如何确定w0和w1这两个参数，即w=（w0，w1）这个向量。
既然是拟合，则拟合效果可以用平方损失函数：E(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 来衡量。
其中w是权重二维向量，x是输入二维向量，x和y都是训练集的数据，即已知。
至于后面除于2只是为了之后的推导过程中对E求导时候可以消除系数，暂时可以不管。
因此该问题变成了求E(w)最小值的无约束最优化问题
2.对于第二种场景:
假设输入空间(特征向量)为x，输出空间为y = {+1, -1},由输入空间到输出空间的如下函数
f(x) = sign(w · x + b) w∈Rn 其中 w 叫做权值或者权值向量, b叫做偏振。w · x 表示向量w和x的点积
感知机sign(w · x + b)的损失函数为 L(w, b) = -∑yi(w · xi + b) x ∈M, M为误分类点集合。
因此该问题变成了求L(w, b)最小值的无约束最优化问题
三.梯度下降方法
梯度其实就是高数求导方法，对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）
1. 对于第一种场景
对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）
梯度为最陡峭上升的方向，对应的梯度下降的训练法则为： w=w-η▽E(w) 这里的η代表学习速率，决定梯度下降搜索中的步长 。
上式的w是向量，即可用将该式写成分量形式为:wi=wi-η*∂E/∂wi
现在关键就使计算∂E/∂wi：
推导过程很简单，书上写的很详细，这里只记录结论(其实就是对目标函数求导):
∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi)
这里的∑是对样本空间，即训练集进行一次遍历，耗费时间较大，可以使用梯度下降的随机近似：
2. 对于第二种场景
感知机学习算法是误分类驱动的，具体采用随机梯度下降方法
▽wL(w, b) = -∑yixi
▽bL(w, b) = -∑yi
随机选取一个误分类点（xi, yi), 对w, b进行更新：
w <—— w - η * (-yixi)
b <—— b - η * (-yi) 式中η(0 < η <= 1)是步长，在统计学习中又称为学习率（learning rate）
四.随机梯度下降的随机近似：
既然是随机近似，则顾名思义，肯定是用近似方法来改善梯度下降时候的时间复杂度问题。
正如上所说，在∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi) 的时候∑耗费了大量的时间，特别是在训练集庞大的时候。
所以肯定有人会猜想，如果把求和去掉如何，即变为∂E/∂wi=（h(x)-y）*(xi)。
幸运的是，猜想成立了。
只是要注意一下标准的梯度下降和随机梯度下降的区别：
1.标准下降时在权值更新前汇总所有样例得到的标准梯度，随机下降则是通过考察每次训练实例来更新。
2.对于步长 η的取值，标准梯度下降的η比随机梯度下降的大。
因为标准梯度下降的是使用准确的梯度，理直气壮地走，随机梯度下降使用的是近似的梯度，就得小心翼翼地走，怕一不小心误入歧途南辕北辙了。
3.当E（w）有多个局部极小值时，随机梯度反而更可能避免进入局部极小值中。
四.代码及实例：
1. 对于第一种场景
1 /*
2 * 随机梯度下降实验：
3 * 训练集输入为矩阵：
4 * 1,4
5 * 2,5
6 * 5,1
7 * 4,2
8 * 输出结果为：
9 * 19
10 * 26
11 * 19
12 * 20
13 * 需要参数为 w：
14 * ？
15 * ？
16 *
17 * 目标函数:y=w0*x0+w1*x1;
18 *
19 * */
20 #include<stdio.h>
21 #include <stdlib.h>
22 int main()
23 {
24 double matrix[4][2]={{1,4},{2,5},{5,1},{4,2}};
25 double result[4]={19,26,19,20};
26 double w[2]={0,0};//初始为零向量
27 double loss=10.0;
28 const double n = 0.01; //步长
29 for(int i=0;i<100&&loss>0.001;i++)
30 {
31 double error_sum=0;
32 int j=i%4;
33 {
34 double h=0;
35 for(int k=0;k<2;k++)
36 {
37 h+=matrix[j][k]*w[k];
38 }
39 error_sum = h - result[j];
40 for(int k=0;k<2;k++)
41 {
42 w[k]-= n * (error_sum) * matrix[j][k];//这里是关键
43 }
44 }
45 printf("%lf,%lf\n",w[0],w[1]);
46 double loss=0;
47 for(int j=0;j<4;j++)
48 {
49 double sum=0;
50 for(int k=0;k<2;k++)
51 {
52 sum += matrix[j][k] * w[k];
53 }
54 loss += (sum - result[j]) * (sum-result[j]);
55 }
56 printf("%lf\n",loss);
57 }
58
59 system("pause");
60 return 0;
61 }
结果可以得出 w0=3，w1=4。
1. 对于第二种场景
1 /*
2 * 基于感知机的随机梯度下降实验： 《统计学习方法》- p29-例2.1
3 * 训练集输入为矩阵：
4 * 3,3
5 * 4,3
6 * 1,1
7 * 输出结果为（表示实例的分类）：
8 * 1
9 * 1
10 * -1
11 * 需要参数为 w：
12 * ？
13 * ？
14 *
15 * 目标函数:y = w0 * x0 + w1 * x1 + b;
16 *
17 * */
18 #include<stdio.h>
19 #include <stdlib.h>
20 int main()
21 {
22 double x[3][2]={{3,3},{4,3},{1,1}};
23 double y[4]={1, 1, -1};
24 double w[2]={0,0};//初始为零向量
25 double b = 0;
26 int j;
27 const double n = 1; //步长
28
29 while(1)
30 {
31 for(j=0;j<3;j++)
32 {
33 if(y[j] * (w[0] * x[j][0] + w[1] * x[j][1] + b) <= 0)
34 break;
35 }
36 if(j < 3)
37 {
38 for(int k=0;k<2;k++)
39 w[k] += n * y[j] * x[j][k];//这里是关键
40 b += n * y[j];
41 }
42 else
43 break;
44 printf("%d :%lf,%lf %lf\n", j, w[0], w[1], b);
45
46 }
47
48 system("pause");
49 return 0;
50 }
结果可以得出 w0=1，w1=1， b = -3 。
参考：
1. http://blog.csdn.net/wuyanyi/article/details/8003946
2. 李航 统计学习方法