今天考试了，三道题分别是求欧拉，逆欧拉，欧拉求和
对于我这样的蒟蒻来说，我选择狗带。
爆零稳稳的。
现在整理一下；
φ(n)(欧拉函数值)为不大于n的正整数中与n互质的数的个数；
有几条这样的性质：
1.欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数,即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1时成立.
2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.
φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).
3.除了N=2,φ(N)都是偶数.
4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).
根据其中第2条性质，我们可以想出求φ（n）的代码
思路：
n分解质因数
代码：
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
long long int n,head=2,ans=1,ans2=1;
bool yinshu[500001000];
int main()
{
cin>>n;
long long int cur=n;
while(head<=n)
{
if(cur==1) break;
if(cur%head==0)
{
cur/=head;
yinshu[head]=true;
}
else head++;
}
for(int i=2;i<=head;i++)
{
if(yinshu[i]==true)
{
ans*=i-1;
ans2*=i;
}
}
ans*=n/ans2;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
当然，其中分解质因数的时候，还可以打一张素数表，但是如果你给的数是大于10^18次方的质数，这个代码无能为力；
有个算法叫做Miller_Rabin算法，可以很快的判断一个数是不是素数；
欧几里得算法：
1.gcd（欧几里得）：
gcd可以用来求最大公约数，直接上代码：
int gcd(int m,int n)
{
if(n==0) return m;
else return gcd(n,m%n);
}
2.扩展欧几里得：
对于不完全为0的整数a，b存在ax+by==gcd（a，b）；
扩展欧几里得可用于求出x，y；
根据gcd（欧几里得）可以得出gcd（a，b）==gcd（b，a%b）；
所以
当b==0时，存在ax+0*y==gcd（a，b）==gcd（a，0）==a；
所以当b==0时，x==1，y==0；
同时ax+by==gcd（a，b），bx1+a%by1==gcd（b，a%b）；
所以ax+by==bx1+(a-a/b*b)*y1;
ax+by==bx1+ay1-a/b*b*y1;
ax+by==ay1+b(x1-a/b*y1);
即：
x==y1，y==x1-a/b*y1；
由此可得出扩展欧几里得求x，y的递归式，上代码：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x==1,y==0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y;
return r;
}
接下来是关于扩展欧几里得的一道信息题：
题目 codevs 1200 同余方程
1200 同余方程
2012年NOIP全国联赛提高组
时间限制: 1 s
空间限制: 128000 KB
题目等级 : 钻石 Diamond
题目描述 Description
求关于 x 同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。
输入描述 Input Description
输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用 一个 空格隔开。
输出描述 Output Description
输出只有一行包含一个正整数x0，即最小正整数解，输入数据保证一定有解。
样例输入 Sample Input
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样例输出 Sample Output
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数据范围及提示 Data Size & Hint
【数据范围】
对于 40% 的数据， 2 ≤b≤ 1,000 ；
对于 60% 的数据， 2 ≤b≤ 50,000,000
对于 100% 的数据， 2 ≤a, b≤ 2,000,000,000
思路：
题目是求关于x的同余方程ax ≡ 1 (mod b)的最小解
ax ≡ 1 (mod b)，即a*x%b==1；
原式可简化成ax-ax/b*b==1；
设-ax/b为y
则原式成为ax+bx==1 变为可用扩展欧几里得求的数；
但是求出的x不一定大于等于0
所以还要有一个小小的转换
即
int cnm=gcd(a,b); while(x<0) x+=(b/cnm),y-=(a/cnm);
然后输出x即可ac；
上代码：
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll int a1,b1,x1,y1;
ll int exgcd(ll int a,ll int b,ll int &x,ll int &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
ll int r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y;
return r;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&a1,&b1);
ll int cnm=exgcd(a1,b1,x1,y1);
while(x1<0) x1+=(b1/cnm),y1-=(a1/cnm);
printf("%lld\n",x1);
return 0;
}