树状数组(BIT)

树状数组的原英文表达：Binary Indexed Tree（BIT），直译的意思便是：二进制标记树

如果数组A是基础数组，数组C是区间数组。那么，在具体介绍数组C的特点前，先给出如下的树状关系图：

仔细观察上图，容易发现：

数组C[]分别代表的区间为：

C1=A1 [1,1]

C2=C1+A2=A1+A2 [1,2]

C3=A3 [3,3]

C4=C2+C3+A4=A1+A2+A3+A4 [1,4]

C5=A5 [5,5]

C6=C5+A6=A5+A6 [5,6]

C7=A7 [7,7]

C8=C4+C6+C7+A8=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8 [1,8]

C9=A9 [9,9]

也就是说，每个数组Ci，至少包含Ai，同时包含所有满足j+lowest_bit(j)=i的Cj数组。例如C8不仅包含A8，同时还包含了C4,C6,C7。而

4₁₀=100₂，100₂+100₂=1000₂=8₁₀

6₁₀=110₂，110₂+10₂=1000₂=8₁₀

7₁₀=111₂，111₂+1₂=1000₂=8₁₀

注：lowest_bit(i)表示计算数字i的二进制表示中，从右往左数，第一个1所代表的数字。

利用位运算，

我们容易得到lowest_bit()的快速计算方法：

int lowbit(int x)

{

return x&-x;

}

于是，在Ai更新时，只需纵向分别更新即可：C[i]，C[i=i+lowest_bit(i)]……直到i>n。

例如在更新A1时候，我们分别更新C1,C2,C4与C8。（这里假设n=9）

对于更新过程我们可以这样理解：更新所有包含Ai的数组Cj。计算下标j的过程类似于在树形结构中寻找父节点的过程。

实现代码：

voidadd(int
x,int
val)

{

　　while(x<=n)

　　{

　　　　c[x]+=val;

　　　　x+=lowbit(x);

　　 }

对于每个数组Ci，至少包含Ai，同时包含所有满足j+lowest_bit(j)=i的Cj数组。因此，可以得到如下结论：数组Ci代表的区间一定是:[i-lowest_bit(i)+1,i]。（这里略去了该结论的证明过程）

于是，对于A1+A2+……Ai的和，我们只需找到一组能完美覆盖区间[1,i]的数组集合{C[]}即可：C[i]+C[i=i-lowest_bit(i)]+……直到i=0。

例如在查询A1+A2+……A7的值时，我们累加C7+C6+C4

实现代码：

intsum(int x)

{

　　int rt=0;

　　while(x)

　　{

　　　　rt+=c[x];

　　　　x-=lowbit(x);

　　}

　　　return rt;

}

可以看出，树状数组的代码实现非常简洁，极易编码。同时，我们容易计算出树状数组的更新操作的时间复杂度为log(n)，查询操作的时间复杂度同样为log(n)，因此总时间复杂度为log(n)。

[区间更新单一查询]

若需要区间更新，单一查询，那么只要改变数组C的含义即可：数组C表示区间的共同增量，例如，

C1=A1
[1,1]

C2=C1+A2=A1+A2
[1,2]

C3=A3
[3,3]

C4=C2+C3+A4=A1+A2+A3+A4
[1,4]

分别表示区间[1,1]，[1,2]，[3,3]，[1,4]的共同增量，于是在更新区间[1,i]时，我们只需找到一组能完美覆盖区间[1,i]的数组集合{C[]}即可，这刚好对应着之前树状数组的sum操作。于是，我们将sum操作更改为add操作，即

voidadd(int
x,
intval)

{

while(x)

{

c[x]+=val;

x-=lowbit(x);

}

对于区间[s,t]，我们只需执行add(t,val)与add(s-1,-val)即可。

对于单一查询：query(i)，我们只需累加所有包含Ai的数组Cj即可，这对应着之前树状数组的add操作。于是，我们将add操作更改为sum操作，即

intsum(int
x)

{

int
rt=0;

while(x<=n)

{

rt+=c[x];

x+=lowbit(x);

}

return
rt;

}

[区间更新区间查询]

更一般的，有时候题目同时要求我们区间更新与区间查询，例如：

Description

You
have N integers, A₁, A₂,
... , A_N.
You need to deal with two kinds of operations. One type of operation
is to add some given number to each number in a given interval. The
other is to ask for the sum of numbers in a given interval.

Input

The
first line contains two numbers N and Q.
1 ≤ N,Q ≤
100000.
The second line contains N numbers,
the initial values of A₁, A₂,
... , A_N.
-1000000000 ≤ A_i ≤
1000000000.
Each of the next Q lines
represents an operation.
"C a b c"
means adding c to
each of A_a, A_a₊₁,
... , A_b.
-10000 ≤ c ≤
10000.
"Q a b"
means querying the sum of A_a, A_a₊₁,
... , A_b.