扩展欧几里得算法介绍:
前置知识:欧几里得算法(其实就是辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。)
欧几里得算法:
在开始之前,我们先说明几个定理:
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)
公式表述及证明
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
代码:
根据上述公式,我们可以用递归来实现GCD函数(边界条件就是a,b的最大公约数是b本身的时候,也就是a%b==0的时候),代码如下:
int gcd(int a,int b) { return b?gcd(b,a%b):a; }
扩展欧几里得算法:
扩展欧几里德算法是欧几里得算法的扩展,是用来在已知a, b的情况下求解一组x,y,使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。
求解 x,y的方法及证明 (设 a>b)
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,a>b>0 时,设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
说明: a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
递归边界:gcd(a,0)=1*a-0*0=a。
代码实现一:
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1;y=0; return a; } int r=exGcd(b,a%b,x,y); int t=x;x=y;y=t-a/b*y; return r; }
代码实现二(推荐):
int exGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y) { if(!b) { d=a;x=1;y=0; } else { gcd(b,a%b,d,y,x); y-= x*(a/b); } }
扩展欧几里得算法的应用:
应用一:求解乘法逆元(A和MOD互素的时候才存在,否则不存在逆元)
首先同余模定理如下:
(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;
(a*b)%c=(a%c*b%c)%c;
也就是说对于取模的加减法,和乘法我们都可以运用同余模定理来进行计算,那么,对于除法我们应该怎么办呢?首先想到的就是把除法转换成乘法,然后就可以运用定理了。怎么转换呢,在普通乘法中,我们知道,除以一个数就等于乘上一个数的倒数,其实这个倒数就是我们所谓的逆元。A*(A的逆元)=单位元。在普通的乘法中 A的逆元就是它的倒数。 那么,在模n乘法中,我们应该怎么求逆元呢?我们设A的逆元为X,那么我们就可以得到(A*X)%MOD=1(模n乘法的单位元也是1)。对这个式子进行变形 ,就可以得到:
(A*X)%MOD=1;那么肯定存在k使得
A*X=k*MOD+1;
移项可得:A*X-k*MOD=1;
所以,当A和MOD互素时,就可以写成
A*X-k*MOD=gcd(A,MOD);
如果把A看做a,MOD看做b,X看做x,-k看做y的话,则上式可化为:
ax+by=gcd(a,b);
这样就可以用扩展欧几里得算法求出来x了,也就是我们要找的逆元。
应用二:求解ax=c(mod b)(也就是ax+by=c(同上逆元的变化方式))的x的最小整数解
ax=c(mod b)可以转化为ax+by=c。(变化的方式同求逆元的时候的变化。)
我们可以用扩展欧几里得算法得出ax+by=gcd(a,b) 的一组解(x1,y1),那么其他解呢?任取另一组解(x2,y2),则ax1+by1=ax2+by2(因为它们都等于gcd(a,b) ),变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。假设gcd(a,b)=g,方程左右两边同时除以g(如果g=0,说明a或b等于0,可以特殊判断),得a‘(x1-x2)=b‘(y2-y1),其中a‘=a/g,b‘=b/g。注意,此时a‘和b‘互素(想想分数的化简),则因此x1-x2一定是b‘的整数倍(因为a‘中不包含b‘,所以x1-x2一定包含b‘)。设它为kb‘,计算得y2-y1=ka‘。注意,上述的推导过程并没有用到“ax+by的右边是什么”,因此得出以下结论:
设a,b,c为任意整数,若方程ax+by=c的一组解是(x0,y0),则它的任意整数解都可以写成(x0+kb‘,y0-ka‘),其中a‘=a/gcd(a,b),b‘=b/gcd(a,b),k取任意整数。
这样我们就可以求出来最小的整数解了。(先用扩展欧几里得算法求出一组解,然后进行变换)。
具体实现方式看代码的注释:
int cal(int a,int b,int c) { int x,y; int gcd=(a,b,x,y); if(c%gcd!=0) return -1;//代表无解 // ax0+by0=gcd(a,b) 方程一 //同时乘以c/gcd(a,b)得 // (a*c/gcd(a,b))*x0+(b*c/gcd(a,b))*y0=c; // 令 x1=c/gcd(a,b)*x0 y1=c/gcd(a,b)*y0; // 则可得 ax1+by1=c 方程二 // 这时得出方程的一个解 x1=x0*c/gcd(a,b) y1=y0*c/gcd(a,b) x*=c/gcd; //将 方程一的一个特解转化成方程2的一个特解 //套用上文的公式可得对方程二 // b‘=b/gcd(a,b); b/=gcd; if(b<0)//处理小于0的特殊情况 b=-b; //对特解x +- kb‘ 找到最小整数解 //设x=kb‘+r //那么我们想要求的整数解就是r //直接取模运算即可 int ans=x%b; //把负数的r转化成正数的 if(ans<=0) ans+=b; return ans; }
应用三:直线上的整数点
在平面坐标系下,ax+by=c是一条直线方程。知道一个点,我们就可以用应用二中的方法去求直线上的所有整数点。
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