(转)拓展欧几里得讲解

拓展欧几里得

扩展欧几里得算法介绍:

前置知识:欧几里得算法(其实就是辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。)

欧几里得算法:

在开始之前,我们先说明几个定理:

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

公式表述及证明

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数,则有

d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

d | b , d |r ,但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

代码:

根据上述公式,我们可以用递归来实现GCD函数(边界条件就是a,b的最大公约数是b本身的时候,也就是a%b==0的时候),代码如下:

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

扩展欧几里得算法:

扩展欧几里德算法是欧几里得算法的扩展,是用来在已知a, b的情况下求解一组x,y,使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

求解 x,y的方法及证明 (设 a>b)

1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

2,a>b>0 时,设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

说明: a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

递归边界:gcd(a,0)=1*a-0*0=a。

代码实现一:

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

代码实现二(推荐):

int exGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b) { d=a;x=1;y=0; }
    else { gcd(b,a%b,d,y,x); y-= x*(a/b); }
}

扩展欧几里得算法的应用:

应用一:求解乘法逆元(A和MOD互素的时候才存在,否则不存在逆元)

首先同余模定理如下:

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;

(a*b)%c=(a%c*b%c)%c;

也就是说对于取模的加减法,和乘法我们都可以运用同余模定理来进行计算,那么,对于除法我们应该怎么办呢?首先想到的就是把除法转换成乘法,然后就可以运用定理了。怎么转换呢,在普通乘法中,我们知道,除以一个数就等于乘上一个数的倒数,其实这个倒数就是我们所谓的逆元。A*(A的逆元)=单位元。在普通的乘法中 A的逆元就是它的倒数。 那么,在模n乘法中,我们应该怎么求逆元呢?我们设A的逆元为X,那么我们就可以得到(A*X)%MOD=1(模n乘法的单位元也是1)。对这个式子进行变形 ,就可以得到:

(A*X)%MOD=1;那么肯定存在k使得

A*X=k*MOD+1;

移项可得:A*X-k*MOD=1;

所以,当A和MOD互素时,就可以写成

A*X-k*MOD=gcd(A,MOD);

如果把A看做a,MOD看做b,X看做x,-k看做y的话,则上式可化为:

ax+by=gcd(a,b);

这样就可以用扩展欧几里得算法求出来x了,也就是我们要找的逆元。

应用二:求解ax=c(mod b)(也就是ax+by=c(同上逆元的变化方式))的x的最小整数解

ax=c(mod b)可以转化为ax+by=c。(变化的方式同求逆元的时候的变化。)

我们可以用扩展欧几里得算法得出ax+by=gcd(a,b) 的一组解(x1,y1),那么其他解呢?任取另一组解(x2,y2),则ax1+by1=ax2+by2(因为它们都等于gcd(a,b) ),变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。假设gcd(a,b)=g,方程左右两边同时除以g(如果g=0,说明a或b等于0,可以特殊判断),得a‘(x1-x2)=b‘(y2-y1),其中a‘=a/g,b‘=b/g。注意,此时a‘和b‘互素(想想分数的化简),则因此x1-x2一定是b‘的整数倍(因为a‘中不包含b‘,所以x1-x2一定包含b‘)。设它为kb‘,计算得y2-y1=ka‘。注意,上述的推导过程并没有用到“ax+by的右边是什么”,因此得出以下结论:

设a,b,c为任意整数,若方程ax+by=c的一组解是(x0,y0),则它的任意整数解都可以写成(x0+kb‘,y0-ka‘),其中a‘=a/gcd(a,b),b‘=b/gcd(a,b),k取任意整数。

这样我们就可以求出来最小的整数解了。(先用扩展欧几里得算法求出一组解,然后进行变换)。

具体实现方式看代码的注释:

int cal(int a,int b,int c)
{
    int x,y;
    int gcd=(a,b,x,y);
    if(c%gcd!=0)
        return -1;//代表无解
    //  ax0+by0=gcd(a,b)                                方程一
    //同时乘以c/gcd(a,b)得
    // (a*c/gcd(a,b))*x0+(b*c/gcd(a,b))*y0=c;
    // 令 x1=c/gcd(a,b)*x0  y1=c/gcd(a,b)*y0;
    // 则可得 ax1+by1=c                                 方程二
    // 这时得出方程的一个解   x1=x0*c/gcd(a,b)     y1=y0*c/gcd(a,b)
    x*=c/gcd; //将 方程一的一个特解转化成方程2的一个特解
    //套用上文的公式可得对方程二
    // b‘=b/gcd(a,b);
    b/=gcd;
    if(b<0)//处理小于0的特殊情况
        b=-b;
    //对特解x  +- kb‘  找到最小整数解
    //设x=kb‘+r
    //那么我们想要求的整数解就是r
    //直接取模运算即可
    int ans=x%b;
    //把负数的r转化成正数的
    if(ans<=0)
        ans+=b;
    return ans;
}

应用三:直线上的整数点

在平面坐标系下,ax+by=c是一条直线方程。知道一个点,我们就可以用应用二中的方法去求直线上的所有整数点。

END~

原文地址:https://www.cnblogs.com/1013star/p/9383180.html

时间: 2024-10-07 20:51:25

(转)拓展欧几里得讲解的相关文章

拓展欧几里得详解 及其题目 POJ 1061 2115 2142 UVA 10673 10090

最近做了一些拓展欧几里得的题目呢,嘛,从一开始的不会到现在有点感觉,总之把我的经验拿出来和大家分享一下吧. 普通的欧几里得是用于解决求两个数a,b的gcd的,但是我们知道,gcd是线性组合 { ax+by | x,y∈Z }里的最小正元素(什么?不知道怎么来的?好吧...算法导论里数论算法那一章有证明),假若我们能够把这个x和y找出来,那么可以用来解决很多问题. (以下的gcd和lcm均指(gcd(a,b)和lcm(a,b)) 首先,假设ax+by=gcd这一个方程有一个特解x*,y*.那么显然

bzoj4517: [Sdoi2016]排列计数--数学+拓展欧几里得

这道题是数学题,由题目可知,m个稳定数的取法是Cnm 然后剩下n-m本书,由于编号为i的书不能放在i位置,因此其方法数应由错排公式决定,即D(n-m) 错排公式:D[i]=(i-1)*(D[i-1]+D[i-2]); 所以根据乘法原理,答案就是Cnm * D(n-m) 接下来就是怎么求组合数的问题了 由于n≤1000000,因此只能用O(n)的算法求组合,这里用乘法逆元(inv[])来辅助求组合数 即 Cnm = n! / ((n-m)! * m!) = fac[n]*inv[n-m]*inv[

数论之拓展欧几里得求解不定方程和同余方程组(一)

今天接到scy的压缩包,开始做数论专题.那今天就总结一下拓展欧几里得求解不定方程和同余方程组. 首先我们复习一下欧几里得算法: 1 int gcd(int a,int b){ 2 if(b==0) return a; 3 return gcd(b,a%b);4 } 拓展欧几里得算法: 推导过程: 给出A和B,求它们的最大公约数,并且求出x和y,满足Ax+By=gcd(A,B). 当A=0时,x=0,y=1; 当A>0时, 因为exgcd(A,B,x,y)表示Ax+By=gcd(A,B) 而且ex

uva 10413 - Crazy Savages(拓展欧几里得)

题目链接:uva 10413 - Crazy Savages 题目大意:一座山有m个山洞,形成一个圈,现在有n个部落的人,每个部落一开始住在ci山洞,第2天会向后面移动pi个位置,一共会在这座山住li天.现在如果两个部落在同一个山洞相遇,则会发生战争,问说m最小时多少的时候,保证不会发生争斗. 解题思路:因为每个部落都有自己的存在时间,所以枚举m,然后枚举两个部落,判断他们有没有可能相遇. 假设在第k天: ci+k?pi=a?m???(1) cj+k?pj=b?m???(2) 由(2)-(1)得

uva 10548 - Find the Right Changes(拓展欧几里得)

题目链接:uva 10548 - Find the Right Changes 题目大意:给定A,B,C,求x,y,使得xA+yB=C,求有多少种解. 解题思路:拓展欧几里得,保证x,y均大于等于0,确定通解中t的取值. #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; co

POJ 1061 青蛙的约会(拓展欧几里得)

青蛙的约会 Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000KB   64bit IO Format: %I64d & %I64u Submit Status Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳

poj2891 拓展欧几里得

1 //Accepted 164 KB 16 ms 2 //拓展欧几里得 3 //m=a1*x+b1 --(1) 4 //m=a2*(-y)+b2 --(2) 5 //->a1*x+a2*y=b2-b1 6 //由欧几里得算法可得上式的解 7 //由a*x+b*y=gcd(a,b) 8 //可得a(x+b)+b(y-a)=gcd(a,b) 9 //所以最小正整数解x=(x%b+b)%b; 10 //现考虑由(1)(2)两式得到的解m 11 //有x=m mod (a1*a2/gcd(a1,a2)

uva 1426 - Discrete Square Roots(拓展欧几里得)

题目链接:uva 1426 - Discrete Square Roots 题目大意:给出X,N,R,求出所有满足的r,使得r2≡x%N,并且R是一个其中的解. 解题思路: R2?r2=k?N (R?r)(R+r)=k?N => aA=(R+r),bB=(R?r),A,B为N的因子 所以枚举A,B,就有r=R?aA=bB?R aA+bB=2?R 拓展欧几里得求解,将所有满足的解放入set中自动去重. #include <cstdio> #include <cstring> #

题解: poj 1061 nefu 84(拓展欧几里得)

POJ1061 Language:Default 青蛙的约会 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 105002 Accepted: 20595 Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观