基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 40 难度:4级算法题
二维平面上N个点之间共有C(n,2)条连线。求这C(n,2)条线中斜率小于0的线的数量。
二维平面上的一个点,根据对应的X Y坐标可以表示为(X,Y)。例如:(2,3) (3,4) (1,5) (4,6),其中(1,5)同(2,3)(3,4)的连线斜率 < 0,因此斜率小于0的连线数量为2。
Input
第1行:1个数N,N为点的数量(0 <= N <= 50000) 第2 - N + 1行:N个点的坐标,坐标为整数。(0 <= X[i], Y[i] <= 10^9)
Output
输出斜率小于0的连线的数量。(2,3) (2,4)以及(2,3) (3,3)这2种情况不统计在内。
Input示例
4 2 3 3 4 1 5 4 6
Output示例
2
李陶冶 (题目提供者)
题目意思:
问你斜率小于0的两点的有多少个
分析:
方法1:直接树状数组求解
这题跟poj 2352很相像
那题是求某个点左下角点的个数,本题是求某个点左上角点的个数
那题输入是由规则的(按照y的升序,y相等的话,x小的在前)
所以这题一开始也要按照这个规则先排一下序
如果我们直接求某个点左上角的点的个数的话,直接改一下那题就可以了,但是有一点麻烦的地方:
那个题处于做下角边界的情况也是统计在内的
但是这题不行
所以有点麻烦
但是我们可以转化一下思路
因为一开始按照那个排序规则是已经排好序了的
所以当前点肯定是y最大的点,那么以该点为分界点
和该点斜率大于等于0或者斜列不存在的点肯定都是位于该点的左下角的
那么这个时候所有点的数量(不包括当前点)减去当前点左下角的点的数量(包括左下角的边界)
就是斜率小于0的点的数量
即就是该点右下角点的数量(不包括边界的,边界的前面左下角算过了)
还有一个问题就是数据太大了,c数组开不了,需要离散化
所以
先将输入的数据按照x离散化一下,因为每次getsum都是传x进去的
具体操作:
数据先按照x升序,x相等则y小的放前面的规则排序
因为每次getsum都是传x进去,所以按照x优先的规则排序好
排序好之后给按照顺序给点一个编号
这个就是所谓的离散化
然后getsum传进去的就是编号
具体理解一下,编号间的大小顺序关系和x原来的大小顺序关系是一样的
只是数据的范围被压缩了,但是期间各个数据的关系是没有变的
所以是可以这样的
这个就是离散化
离散化完成之后
就是跟star那题差不多了,按照y升序,y相等则x小的放前面的规则排序
然后每次getsum的时候得到的是左下角点的数量
当前点总数(除当前点)减去当前点左下角点的数量
就是当前点右下角的数量
就是和当前点斜率小于0的点的数量
然后将每次getsum的答案加起来就是所有斜率小于0的点对的数量
#include<queue> #include<set> #include<cstdio> #include <iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; #define max_v 500005 struct node { int x,y; int num; } p[max_v]; bool cmp1(node a,node b)//树状数组操作需要 { if(a.y!=b.y) return a.y<b.y; else return a.x<b.x; } bool cmp2(node a,node b)//离散化需要 { if(a.x!=b.x) return a.x<b.x; else return a.y<b.y; } int c[max_v]; int maxx; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void update(int x,int d) { while(x<=maxx) { c[x]+=d; x+=lowbit(x); } } int getsum(int x,int num) { int res=0; while(x>0) { res+=c[x]; x-=lowbit(x); } return num-res;//当前点总数减去该点左下角点的数量就是右下角点的数量 } int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) { memset(c,0,sizeof(c)); for(int i=0; i<n; i++) { scanf("%d %d",&p[i].x,&p[i].y); } //离散化 sort(p,p+n,cmp2); int k=1; p[0].num=k; for(int i=1; i<n; i++) { p[i].num=++k; } maxx=k; //树状数组 sort(p,p+n,cmp1); long long ans=0; for(int i=0; i<n; i++) { ans+=getsum(p[i].num,i);//注意是i,不是i+1,因为当前点总数不包括当前点自己 update(p[i].num,1); } printf("%I64d\n",ans); } return 0; } /* 题目意思: 问你斜率小于0的两点的有多少个 分析: 这题跟poj 2352很相像 那题是求某个点左下角点的个数,本题是求某个点左上角点的个数 那题输入是由规则的(按照y的升序,y相等的话,x小的在前) 所以这题一开始也要按照这个规则先排一下序 如果我们直接求某个点左上角的点的个数的话,直接改一下那题就可以了,但是有一点麻烦的地方: 那个题处于做下角边界的情况也是统计在内的 但是这题不行 所以有点麻烦 但是我们可以转化一下思路 因为一开始按照那个排序规则是已经排好序了的 所以当前点肯定是y最大的点,那么以该点为分界点 和该点斜率大于等于0或者斜列不存在的点肯定都是位于该点的左下角的 那么这个时候所有点的数量(不包括当前点)减去当前点左下角的点的数量(包括左下角的边界) 就是斜率小于0的点的数量 即就是该点右下角点的数量(不包括边界的,边界的前面左下角算过了) 还有一个问题就是数据太大了,c数组开不了,需要离散化 所以 先将输入的数据按照x离散化一下,因为每次getsum都是传x进去的 具体操作: 数据先按照x升序,x相等则y小的放前面的规则排序 因为每次getsum都是传x进去,所以按照x优先的规则排序好 排序好之后给按照顺序给点一个编号 这个就是所谓的离散化 然后getsum传进去的就是编号 具体理解一下,编号间的大小顺序关系和x原来的大小顺序关系是一样的 只是数据的范围被压缩了,但是期间各个数据的关系是没有变的 所以是可以这样的 这个就是离散化 离散化完成之后 就是跟star那题差不多了,按照y升序,y相等则x小的放前面的规则排序 然后每次getsum的时候得到的是左下角点的数量 当前点总数(除当前点)减去当前点左下角点的数量 就是当前点右下角的数量 就是和当前点斜率小于0的点的数量 然后将每次getsum的答案加起来就是所有斜率小于0的点对的数量 */
思路二:
转换为求逆序数,然后归并求逆序
从斜率的公式入手
(xi-xj)/(yi-yj)<0 的点对的个数
现在我们先按照x升序,x相同的则y小的放前面规则排好序
假设i<j
那么xi-xj肯定是小于0的
那么斜率要求小于0,则要求yi-yj大于0
则就是求排好序之后所有的y组成的序列的逆序数
它的逆序数就是斜率小于0点对的个数!
所以先按照那个规则排好序
然后将y拿出来组成一个数组
用归并排序求数列的逆序数
归并可以求逆序的理由:
在归并排序的过程中,比较关键的是通过递归,
将两个已经排好序的数组合并,
此时,若a[i] > a[j],则i到m之间的数都大于a[j],
合并时a[j]插到了a[i]之前,此时也就产生的m-i+1个逆序数,
而小于等于的情况并不会产生。
#include<stdio.h> #include<memory> #include<algorithm> using namespace std; #define max_v 500005 typedef long long LL; struct node { int x,y; }p[max_v]; int a[max_v]; bool cmp(node a,node b) { if(a.x!=b.x) return a.x<b.x; else return a.y<b.y; } int temp[max_v]; LL ans; void mer(int s,int m,int t) { int i=s; int j=m+1; int k=s; while(i<=m&&j<=t) { if(a[i]<=a[j]) { temp[k++]=a[i++]; }else { ans+=j-k;//求逆序数 temp[k++]=a[j++]; } } while(i<=m) { temp[k++]=a[i++]; } while(j<=t) { temp[k++]=a[j++]; } } void cop(int s,int t) { for(int i=s;i<=t;i++) a[i]=temp[i]; } void megsort(int s,int t) { if(s<t) { int m=(s+t)/2; megsort(s,m); megsort(m+1,t); mer(s,m,t); cop(s,t); } } int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) { if(n==0) break; ans=0; for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d %d",&p[i].x,&p[i].y); sort(p,p+n,cmp); for(int i=0;i<n;i++) { a[i]=p[i].y; } megsort(0,n-1); printf("%lld\n",ans); } return 0; } /* 从斜率的公式入手 (xi-xj)/(yi-yj)<0 的点对的个数 现在我们先按照x升序,x相同的则y小的放前面规则排好序 假设i<j 那么xi-xj肯定是小于0的 那么斜率要求小于0,则要求yi-yj大于0 则就是求排好序之后所有的y组成的序列的逆序数 它的逆序数就是斜率小于0点对的个数! 所以先按照那个规则排好序 然后将y拿出来组成一个数组 用归并排序求数列的逆序数 归并可以求逆序的理由: 在归并排序的过程中,比较关键的是通过递归, 将两个已经排好序的数组合并, 此时,若a[i] > a[j],则i到m之间的数都大于a[j], 合并时a[j]插到了a[i]之前,此时也就产生的m-i+1个逆序数, 而小于等于的情况并不会产生。 */
原文地址:https://www.cnblogs.com/yinbiao/p/9470840.html