UVALive - 4287 Proving Equivalences(强连通分量 ＋ DAG)

题目大意：给出N个命题，要求你证明这N个命题的等价性

比如有4个命题a,b,c,d，我们证明a<->b, b<->c,c<->d，每次证明都是双向的，因此一共用了6次推导

如果换成证明a->b,b->c,c->d,d->a,每次证明都是单向的，而只需4次就可以证明所有命题的等价性

现在给出M个命题证明，问还需要证明几个，才可以保证N个命题等价

解题思路：命题的等价，就相当于证明点到点之间是互相连通。

所以，将所给的命题证明当成一条有向边，构建出一张有向图

有向图的所有强连通分量内的结点都满足命题的等价性，不同的强连通分量内的结点无法满足等价性，所有要将所有的强连通分量连接起来，使其变成一个强连通分量

首先，将所有的强连通分量缩成一个点，强连通分量之间的桥就是两个强连通分量之间的关系。接着图就转成一个DAG了

，问题就变成了添加最少的边使得DAG变成强连通分量

如何添加才能最少呢

计算出每个点的入度和出度(强连通分量缩成的点)，并统计入度和出度

所需添加的边的数量就是：强连通分量的数量 －max(入度，出度)，这个可以自行证明(画出5个独立的点，形成强连通分量所需的最少边，就是将这5个点连成一个环的边的数量)

注意强连通分量只有一个时，是不需要再证明的

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 20010
#define M 50010

struct Edge{
    int to, next;
}E[M];

int lowlink[N], head[N], pre[N], sccno[N], in[N], out[N];
int tot, n, m, dfs_clock, scc_cnt;
stack<int> S;

void AddEdge(int from, int to) {
    E[tot].to = to;
    E[tot].next = head[from];
    head[from] = tot++;
}

void dfs(int u) {
    lowlink[u] = pre[u] = ++dfs_clock;
    S.push(u);

    for (int i = head[u]; i != -1; i = E[i].next) {
        int v = E[i].to;
        if (!pre[v]) {
            dfs(v);
            lowlink[u] = min(lowlink[u], lowlink[v]);
        }
        else if (!sccno[v]) {
            lowlink[u] = min(lowlink[u], pre[v]);
        }
    }

    if (lowlink[u] == pre[u]) {
        scc_cnt++;
        while (1) {
            int x = S.top();
            S.pop();
            sccno[x] = scc_cnt;
            if (x == u)
                break;
        }
    }

}

void find_scc() {
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    memset(sccno, 0, sizeof(sccno));
    dfs_clock = scc_cnt = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (!pre[i]) dfs(i);
}

void init() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(head, -1, sizeof(head));
    tot = 0;

    int u, v;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        u--; v--;
        AddEdge(u, v);
    }
    find_scc();

    if (scc_cnt == 1) {
        printf("0\n");
        return ;
    }
    for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++)
        in[i] = out[i] = 1;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = head[i]; j != -1; j = E[j].next) {
            v = E[j].to;
            if (sccno[v] != sccno[i])
                in[sccno[v]] = out[sccno[i]] = 0;
        }
    }
    int a = 0, b = 0;

    for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++) {
        if (in[i]) a++;
        if (out[i]) b++;
    }
    printf("%d\n", max(a, b));
}

int main() {
    int test;
    scanf("%d", &test);
    while (test--) {
        init();
    }
    return 0;
}

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