[知识点]最近公共祖先

1、前言

这是很重要的一个部分，其实之前很多内容均有所提及，今天把许多知识点放在一起讲，也是起一个总结的作用。

2、概念

最近公共祖先，英文简称为LCA，当且仅当存在于树之中。如假设你生了一对双胞胎，那么两门两个人的最近公共祖先就是你了。公共祖先存在很多，但是最近有且仅有一个。如图所示，ans节点就是点x和点y的LCA。

我们很多时候都需要求得LCA，如当对树上点x到点y路径进行一些操作时，首先我们要找到LCA才能得到他们的路径。求LCA的方式有很多，但是大同小异，都是向父亲节点转移。现在根据复杂度一层层来分析。

3、暴力枚举求LCA

很简单的一种方式，但是也是复杂度最高的办法。对于查询点x和点y的LCA，首先根据两点的深度，若dep[x]>dep[y]，则点x向父亲节点一步步转移x=fa[x]，直到dep[x]=dep[y]；反之亦然。当深度相同后，则同时向上转移，即x=fa[x],y=fa[y]，直到x=y，此时找到LCA，退出循环。

其基本框架就是递归，时间复杂度为O(max(dep[x],dep[y]))。

4、倍增求LCA

（暂缺）

5、Tarjan求LCA

（暂缺）

6、树链剖分求LCA

之前在单独讲解树链剖分的时候，就已经体现出了它的这一特性。我们为什么要划出重链？划出重链之后为什么要用线段树来维护每一条边？其作用就在于重边总是相连，当得知每条重链的顶端之后，我们向上跑LCA就是简单的一步步爬了，在最优情况下，可以做到O(1)。然而具体实现的话，大家可以参照“树链剖分”专题（），