Ignatius‘s puzzle

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Problem Description

Ignatius is poor at math,he falls across a puzzle problem,so he has no choice but to appeal to Eddy. this problem describes that:f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x,input a nonegative integer k(k<10000),to find the minimal nonegative integer a,make the arbitrary integer x ,65|f(x)if
no exists that a,then print "no".

Input

The input contains several test cases. Each test case consists of a nonegative integer k, More details in the Sample Input.

Output

The output contains a string "no",if you can‘t find a,or you should output a line contains the a.More details in the Sample Output.

Sample Input

11
100
9999

Sample Output

22
no
43

1、一开始读题，65|f(x)是什么意思都不清楚，最后百度才知道是f(x)能被65整除。

2、而且写这题完全没有思路，数论不好，我是根据网上的思路写的。

思路：
则f(x+1 ) = f (x) +  5*( (13  1 ) x^12 ...... .....+(13  13) x^0  )+  13*(  (5  1 )x^4+...........+ ( 5  5  )x^0  )+k*a;

很容易证明，除了5*(13  13) x^0 、13*( 5  5  )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.
而f(1)也正好等于18+k*a：题目的关键是函数式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;
事实上，由于x取任何值都需要能被65整除.那么用数学归纳法.只需找到f(1)成立的a,并在假设f(x)成立的基础上,
证明f(x+1)也成立.
那么把f(x+1)展开,得到5*(  ( 13  0 )x^13 +  (13  1 ) x^12 ...... .....+(13  13) x^0)+13*(  ( 5  0 )x^5+(5  1 )x^4......其实就是二项式展开,这里就省略了  ......+ ( 5  5  )x^0  )+k*a*x+k*a;——————这里的( n  m)表示组合数,相信学过2项式定理的朋友都能看明白.

然后提取出5*x^13+13*x^5+k*a*x。

则f(x+1 ) = f (x) +  5*( (13  1 ) x^12 ...... .....+(13  13) x^0  )+  13*(  (5  1 )x^4+...........+ ( 5  5  )x^0  )+k*a;

很容易证明，除了5*(13  13) x^0 、13*( 5  5  )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.
而f(1)也正好等于18+k*a

所以,只要找到a,使得18+k*a能被65整除,也就解决了这个题目.

假设存在这个数a,因为对于任意x方程都成立，所以，当x=1时f(x)=18+ka;有因为f(x)能被65整出，这可得出f(x)=n*65;

即：18+ka=n*65;若该方程有整数解则说明假设成立。

ax+by = c的方程有解的一个充要条件是：c%gcd(a, b) == 0。

然后枚举直到65*n-18%k == 0为止。

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #include <string.h>
 4 using namespace std;
 5
 6 int gcd(int a, int b)
 7 {
 8     return b == 0? a:gcd(b, a%b);
 9 }
10
11 void swap(int &a, int &b)
12 {
13     int t = a;
14     a = b;
15     b = t;
16 }
17
18 int fun(int m, int n)
19 {
20     if(m < n) swap(m, n);
21     gcd(m, n);
22     if(!(18%gcd(m, n)))    return 1;
23         return 0;
24 }
25
26
27 int main()
28 {
29     int m;
30     while(~scanf("%d", &m))
31     {
32         if(fun(65, m))
33         {
34             for(int i = 1;; i++)
35             {
36                 if((i*65-18)%m == 0)
37                 {
38                     printf("%d\n", (i*65-18)/m);
39                     break;
40                 }
41             }
42         }
43         else printf("no\n");
44     }
45     return 0;

思路2：

题意：给出k。求使得f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x对任意x都为65的倍数的a的最小值。

mark：65=13*5。要使f(x)是65的倍数，只需要f(x)是5和13的倍数即可。先来分析13的。

若f(x)是13的倍数，

有5*x^13+13*x^5+k*a*x % 13 == 0，其中13*x^5项显然不用考虑。

则只需5*x^13 + k*a*x是13的倍数，即x*(5*x^12+k*a)是13的倍数。若x是13的倍数，不用考虑。

若x不是13的倍数，则x一定与13互素，因为EulerPhi(13) == 12，从而x^12 % 13 == 1。

所以可知5*x^12 % 13 == 5。

因为要让任意x满足条件，则括号内必为13的倍数，有k*a+5 % 13 == 0，则k*a % 13 == 8。

同理可得k*a % 5 == 2。

据此，若k为5或13的倍数，a一定无解，否则，一定有解。

根据k%5的结果，可能为1、2、3、4，a应分别取5n+2,5n+1,5n+4,5n+3。

枚举a的值，若符合13的条件，则为解。

费马小定理：

费马小定理是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstdio>
 4 using namespace std;
 5 int w[5]={0,2,1,4,3};
 6 int main()
 7 {
 8     int k,a;
 9     while(~scanf("%d",&k))
10     {
11         if(k%5==0||k%13==0)
12             cout<<"no"<<endl;
13         else
14         {
15             for(a=w[k%5];;a+=5)
16             {
17                 if(k*a%13==8)
18                 {
19                     cout<<a<<endl;
20                     break;
21                 }
22             }
23         }
24     }
25     return 0;
26 }