这节来介绍一下频率域滤波。
在空间域内，我们是直接对像素进行操作以增强图像的有用信息。像高斯平滑，是取一个模板与图像进行卷积操作，得到处理后的图像。不同的变换域可以很方便的解决某种问题，例如空间域中值滤波是取一个区域的中值替代中间像素的灰度，可以很好的去除椒盐噪声例如下图中的（1）（2）（3）。
（1）原图 (2)带有椒盐噪声的图像 （3）图像（2）复原之后的图像 （4）部分区域带有周期噪声
但不是所有的图像都可以在空间域进行图像的增强，有的时候都不知道用什么滤波器来增强图像，例如只有一部分周期噪声的图像（4），中值滤波和高斯滤波等并不能有效的去噪，这个时候可以把它变换到别的变换域中进行处理，在该变换域中一些噪声有很明显的特性。我在此介绍的是频率域图像的增强，如下是傅里叶变换的公式，
f(x,y)是空间域像素点的灰度值，F(u，v)中的u，v是频率域变换，F()为对应的变换值。
是傅里叶级数的三角形式，它说明一个函数可以表示成一系列正余弦函数之和，如上图。我们在频率域平滑图像就是去掉频率图像中的较大值即高频成分，锐化图像就是去掉低频成分，所以我们只要找到噪声的频率范围然后设置一个频率范围D0到D1，只要这部分频率被去除就可以解决周期噪声的问题了（具体的操作将在之后介绍），这是比较容易实现的。频率表示的是空间域图像的梯度，高频反映的是图像的细节部分，像噪声、边缘等，低频则是反映出图像的变化比较平滑，所以频谱图也是图像的梯度分布图。再来看一下什么是频谱图：
是频谱计算公式，欧拉公式
使得变换后的F(u,v)带有实部虚部，频谱是一个很重要的概念。图（5）（6）就是图像（1）和（4）的频谱图，不经处理的频谱图坐标原点在左上角，从图中可以看出四角是比较亮的，但是这两幅图中看不出噪声的特点，两幅图似乎没有什么区别，但是如果将图像的坐标原点移到图像的中心，效果将完全不一样了，如图（7）（8）。
（5）图像（1）的频谱图 （6）图像（4）的频谱图 （7）图（5）原点移中 （8）图像（6）原点移中
从移中后的频谱图可以清楚的看见两幅图的差异，再来看频谱反映了什么信息。图（7）中间部分最亮，反映的是图像的低频信息，越亮代表图像的低频成分越多，图像就会比较平滑，没有很明显的边角之类的细节，像沙漠图（9）整体过渡比较平滑，频谱图中间部分就比较亮，而图（1）有很多细节，则它的频谱图中间部分稍微暗点。从图（8）中可以看出，除了中间部分比较亮以外，在四条垂直亮线上还有四个亮点，这是带有周期噪声的图（6）对应的频谱图，正常情况下只有一个亮点，所以比较直观的看出了噪声，这也是为什么要进行移中的原因之一。
当U=V=0时说明了频谱图的中心点是等于图像灰度的平均值。
（9）沙漠图 （10）图（9）的频谱图 （11）图（1）的频谱图
以上简单介绍了一下什么是频率域滤波，再来看一下在频率域增强图像具体的步骤：
1、用乘数乘以输入图像进行中心变换
这样就将频谱图进行移中处理了
2、傅里叶变换到频域
3、频域滤波
4、变换到空间域
5、取g(x,y)的实部
6、取消图像的乘数
H（u，v）就是滤波器，它只能允许一定的频率通过，几种常用的频率域滤波器，还有图（4）的增强过程及效果将在下篇介绍。
附录：
%%周期噪声图像的特点
T = imread(‘F:\picture\5.jpg‘);
T_gry = rgb2gray(T);
figure,imshow(T_gry);
[rows cols] = size(T_gry);
T_noise = zeros(rows,cols);
%给原图像的1/4区域加上周期噪声
for i = 1:rows
for j = 1:cols
T_noise(i,j)= double(T_gry(i,j));
end
end
for i = 1:rows/2
for j = 1:cols/2
T_noise(i,j)= T_gry(i,j)+20*sin(20*i)+20*sin(20*j);
end
end
T_noise = uint8(T_noise);
figure,imshow(T_noise);
%对有周期噪声的图像进行傅里叶变换
fcoef = fft2(double(T_noise));
%将频谱移中
spectrum = fftshift(fcoef);
%对幅值做对数变换以压缩动态范围，以便显示
temp = log(1+abs(spectrum));
%显示移中频谱图
figure,imshow(temp,[]);
%对源图像进行傅里叶变换并显示频谱图
fcoef = fft2(double(T_gry));
%将频谱移中
spectrum = fftshift(fcoef);
%对幅值做对数变换以压缩动态范围，以便显示
temp = log(1+abs(spectrum));
%显示移中频谱图
figure,imshow(temp,[]);