1. (1) 0 (2) 0
(奇偶性以及周期性)
2.
(1) 因为 $x>x^2$, $x\in(0,1)$, 所以 $e^x > e^{x^2}$, 因此
\[
\int_0^1 e^x dx > \int_0^1 e^{x^2} dx.
\]
(2)
\[
\int_0^{2\pi} x\sin x dx = \int_0^{\pi} x\sin x dx + \int_\pi^{2\pi} x\sin x dx
\]
注意到右边的第二个积分从 $\pi$ 变化到 $2\pi$, $\sin x$ 的绝对值和从 $\pi $ 变化到 $0$ 是一样的，但是符号是负号，而此时 $x$ 显然比原来变换范围的 $x$ 大，所以积分是负的。
3. 把区间 $(0,2)$ 分为等距的 $n$ 等分, 即 $\Delta x_i = \frac 2n$, 而
\[
x_0 =0, x_1= \frac2n, \cdots, x_i = \frac {2i} n, \cdots, x_n =2,
\]
另外取 $\xi_i=x_i$, 此时 $\lambda=\max{\Delta_i}= \frac2n$ 则
\[
\int_0^2 x^2 dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}
\xi_i^2 \Delta x_i =8 \lim_{\lambda \to 0} \frac{\sum_{i=1}^n i^2}{n^3}
= 8\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac16 n(n+1)(2n+1)}{n^3}=\frac 83.
\]
4.
\[
\mbox{原式}=\lim_{n\to \infty} \frac 1n \sum_{ i=1 }^{n} \frac{1}{(1+ i/n)^2}
= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx.
\]
(注意，一般处理这类问题都是直接提出一个 $1/n$ 观察下，因为基本的题目不会太难，所以它的区间一般是 $(0,1)$, 而 $\Delta x_i$ 一般是等距的，而且是 $1/n$. 当然也有其他的情况，先试试最简单的情况，观察下 )
5. 由练习册 p.39 的不等式直接可得 (要对我们已知道的结论有点印象)
6.
(1) 根据积分中值定理, 存在 $\xi_n \in(0,1/2)$ 使得
\[
\int_0^{1/2} \frac{x^n}{ 1+x} dx= \frac12 \frac{\xi_n^n}{1+\xi_n} ,
\]
因此
\[
\lim_{n\to +\infty} \int_0^{1/2} \frac{x^n}{ 1+x} dx= \lim_{n\to +\infty} \frac12 \frac{\xi_n^n}{1+\xi_n}=0.
\]
(2) 根据积分中值定理, 存在 $\xi_n \in(n,n+p)$ 使得
\[
\int_n^{n+p} \frac{\cos x}{ \sqrt x} dx= p \frac{\cos \xi_n}{\sqrt{\xi_n}} ,
\]
因此
\[
\lim_{n\to +\infty} \int_n^{n+p} \frac{\cos x}{ \sqrt x} dx= \lim_{n\to +\infty} \frac{p \cos \xi_n}{\sqrt{\xi_n}},
\]
注意到当 $n\to +\infty$, $1/\sqrt{\xi_n} $ 为无穷小量, 而 $\cos \xi _n$ 为有界函数，即极限值为零。