基于Otsu算法的图像自适应阈值分割

在图像处理实践中，将灰度图转化为二值图是非常常见的一种预处理手段。在Matlab中，可以使用函数BW = im2bw(I, level)来将一幅灰度图 I，转化为二值图。其中，参数level是一个介于0~1之间的值，也就是用于分割图像的阈值。默认情况下，它可取值是0.5。

现在问题来了，有没有一种根据图像自身特点来自适应地选择阈值的方法呢？答案是肯定的！我们今天就来介绍其中最为经典的Otsu算法（或称大津算法）。该算法由日本科学家大津展之（Nobuyuki Otsu）于1979年提出。这个算法看似简单，却与统计分析中的“方差分析”方法有很深的渊源。有兴趣的读者也可以参考算法原文《A threshold selection method from gray-level histograms》（在线浏览地址：http://wenku.baidu.com/view/996e972d7375a417866f8f5d）我们今天在介绍该算法原理的基础之上，通过简单的Matlab代码来演示它的实现。

Matlab的帮助信息中指出：To compute the level argument,you can use the function graythresh. The graythresh function uses Otsu‘s method。可见，函数graythresh()就是Matlab中的大津法实现。如果对Otsu算法的原理并不感兴趣，完全可以直接调用graythresh()函数，而无需过多关系其中的技术细节。

在大津法中，我们定义组内方差为

通过选择使得上述组内方差最小化时的阈值 t，就可以使得图像中的前景和背景尽可能的被区别开（假设我们将最终图像里被分开的两部分称为前景和背景）。w0和w1分别是一个像素可能属于前景或背景的概率，而 σ 表示两个类别的方差。如果一个图像的直方图有L个等级（一般L=256），那么在给定阈值 t的情况下，w0和w1分别定义为

大津展之证明最小化组内方差（intra-class variance）与最大化组间方差（inter-class variance）是等价的，于是有

又因为（其中 μ 表示均值或期望）

可以推出

这个证明仅仅涉及一些算术上的推导，我简单演示如下

最后我们给出在Matlab中实现的代码，这个代码的最初版本来自维基百科，为了与前面的公式中的标记相一致，我略有修改。

function level = otsu(histogramCounts, total)
sum0 = 0;
w0 = 0;
maximum = 0.0;
total_value = sum((0:255).*histogramCounts‘);
for ii=1:256
    w0 = w0 + histogramCounts(ii);
    if (w0 == 0)
        continue;
    end
    w1 = total - w0;
    if (w1 == 0)
        break;
    end
    sum0 = sum0 +  (ii-1) * histogramCounts(ii);
    m0 = sum0 / w0;
    m1 = (total_value - sum0) / w1;
    icv = w0 * w1 * (m0 - m1) * (m0 - m1);
    if ( icv >= maximum )
        level = ii;
        maximum = icv;
    end
end

end

上述函数中的参数histogramCounts是图像的直方图, total图像的总像素数。来看下面这段调用上述函数的测试代码。

>> img = imread(‘otsus_test.jpg‘);
>> [counts x] = imhist(img);
>> [m n] = size(img);
>> level = otsu(counts, m*n);
>> output = img;
>> output(output<level) = 0;
>> output(output>=level) = 255;
>> imshow(output)

首先给出原始图像

然后是基于Otsu算法获取的二值图

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更多有趣有用的图像处理算法还可以参考我的《数字图像处理原理与实践（Matlab版）》