斐波那契序列的递归和非递归的实现

  斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci[1]）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
  指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：  
      F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）
  
  
#include<iostream>
using namespace std;
//递归形式
//long long  fibonacci(int i)
//{
//	return i < 2 ? i : fibonacci(i - 1) + fibonacci(i - 2);
//}
void test1()
{
	cout << fibonacci(6) << endl;;
}
//非递归形式
long long fibonacci(int n)
{
	int tem[2];
	tem[0] = 1;
	tem[1] = 1;
	if (n == 0)
	{
		return 0;
	}
	if ( n == 1)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		for (int i = 2; i < n; i++)
		{
			int temp = tem[0] + tem[1];
			tem[1] = tem[0];
			tem[0] = temp;
		}
		return tem[0];
	}
}
//优化    时间复杂度O（n）
long long fibonacci(int n)
{
	long long fibonacci[3] = { 0, 1, n };
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibonacci[2] = fibonacci[1]+fibonacci[0];
		fibonacci[0] = fibonacci[1];
		fibonacci[1] = fibonacci[2];
	}
	return fibonacci[2];
}
int main()
{
	test1();
	system("pause");
	return 0;
}

我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的.

在分析算法的时间复杂度的时候，我们也可以得到相同的结果，非递归使用的是for循环，其时间复杂度为O(n)。而递归的时间复杂度则比较复杂，其分析出来为O(2^n)。

这里需要说明的就是，非递归的for循环其时间复杂度O(n)虽然很小，但是其空间复杂度缺比递归调用差得多。因为，for循环在每次循环的时候，都把相应的数值保存下来了，而递归调用却不会保存相应的数值。