NOIP 2006 提高组 第二题
题目描述
金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：
主件 附件
电脑 打印机，扫描仪
书柜 图书
书桌 台灯，文具
工作椅 无
如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：
v[j1]w[j1]+v[j2]w[j2]+ …+v[jk]w[jk]。（其中为乘号）
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入输出格式
# 输入格式：
输入的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
N m （其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数。）
从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数
v p q （其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号）
# 输出格式：
输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）。
输入输出样例
输入样例#1：
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
输出样例#1：
2200
题解
作为一个入门的DP题拿来练习还是很好的。
根据题意知道每个主件最多有两个附件，所以我们用v[i][3]保存每一个物品花费的钱数，用w[i][3]保存每一个物品的价值。
可以看成一个有依赖性的分组背包，具体的DP方程有：
- f[j]=max(f[j],f[j-v[i][0]]+w[i][0]) (只背主件)
- f[j]=max(f[j],f[j-v[i][0]-v[i][1]]+w[i][0]+w[i][0]) (只背主件和第一个附件)
- f[j]=max(f[j],f[j-v[i][0]-v[i][2]+w[i][0]+w[i][2]) (只背主件和第二个附件)
- f[j]=max(f[j],f[j-v[i][0]-v[i][1]-v[i][2]]+w[i][0]+w[i][1]+w[i][2]) (背主件和第一个附件和第二个附件)
code
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int main() { int v[61][3],w[61][3]; int v1,p1,q1; int i,j; int n,m; int f[32001]; memset(v,0,sizeof(0)); memset(w,0,sizeof(0)); cin>>n>>m; for(i=1;i<=m;i++) { cin>>v1>>p>>q; if(!q) { v[i][0]=v1; w[i][0]=p*v1; } else if(!v[q][1]&&!w[q][1]) { v[q][1]=v1; w[q][1]=p*v1 } else if(!v[q][2]&&w[q][2]) { v[q][2]=v1; w[q][2]=p*v1; } } for(i=1;i<=m;i++) for(j=n;j>=v[i][0];j--) { f[j]=max(f[j],f[j-v[i][0]]+w[i][0]); if(j>=v[i][0]+v[i][1]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i][0]-v[i][1]]+w[i][1]+w[i][0]); if(j>=v[i][0]+v[i][2]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i][0]-v[i][2]]+w[i][2]+w[i][0]); if(j>=v[i][0]+v[i][1]+v[i][2]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i][0]-v[i][1]-v[i][2]]+w[i][0]+w[i][1]+w[i][2]); } cout<<f[n]<<endl; return 0; }