传送门：https://284914869.github.io/AEoj/560.html
题目简述：
定义"项"为两个不同变量相乘。
求一个由多个不同"项"相加，含有n个不同变量的式子的最大值。
另外限制了每一个变量的最大最小值R[i]和L[i]和所有变量之和的最大值Max。
n<=13
题外话：
刚开始做这道题的时候，感觉意外眼熟？
codeforces 839 E（此题的退化版）:http://codeforces.com/contest/839/problem/E
所以这里将介绍两道题的做法（证明）。
先来看
codeforces 839E
题意：给出一个图的邻接矩阵，要求给每个点赋一个>=0的值，使得点权和为K，并定义每条边权值为两端点点权的乘积，要求最大化边的权值和。
结论：最大化边权就是要将k均分给图中的最大团中的点。
证明：codeforces上给出了一种数学归纳法的证明:http://codeforces.com/blog/entry/53815
但这里将介绍一种新的证明方法：
首先，现在有一种分配点权的方案，
a.对于两个点a,b，假设之间没有边，且与a点相连的点权和为sa，与b点相连的点权和为sb。
再假设当前a的点权为pa，b的点权为pb。
因为全部的点权和=k，所以要维持pa+pb = 一个定值。
这两个点对答案的贡献是pa*sa+pb*sb
若sa>=sb，那么(pa+pb)*sa+0*sb >= pa*sa+pb*sb，对答案的贡献更大。所以把b的点权降为0更优。
若sa<=sb，那么0*sa+(pa+pb)*sb >= pa*sa+pb*sb，对答案的贡献更大。所以把a的点权降为0更优。
由此可见，存在一种最优的分配方案，任意不相连的两个点，其中至少有一个点点权为0。
b.由a得到的结论可得，最优分配方案中，所有点权>0的点之间，两两都有边（即团）。
我们来证明这个团中，每个点的点权相同。
我们先给这个团中的每个点随机赋一个权值（满足权值和=k）。
若在这个团中并不是每个点的点权相同：
假设在这个团中，a,b权值pa不等于pb。（a与b相连）
设与a点相连的点权和（包括pb）为sa = k-pa，与b点相连的点权和（包括pa）为sb = k-pb。
假设把a的点权变为pa+t，b的点权变为pb-t对边的权值和的贡献最大。
这时，边的权值和的变化量为 t*(sa-pb) - t*(sb-pa) + (pa+t)*(pb-t) - pa*pb = - t*t + t*(sa-sb)
那么这变成了一个二次函数最值问题（初中知识吧。。）
t=(sa-sb)/2=(pb-pa)/2的时候最优。
此时a权从pa-->(pa+pb)/2，b权从pb-->(pa+pb)/2。即pa,pb变为了它们的平均数。
所以，可以对这个团进行若干个这样的操作，
每次取两个权值不相同的点，把它们的权值设为它们的平均数。
最终的最优方案，一定是每个点点权相同。
c.接下来我们证明，最大团最优。
若团的大小为s。边的权值和为
s越大越好。
TopCoder SRM 560 Div 1 - Problem 1000 BoundedOptimization
终于回到正题了。。。
若两个变量的乘积对答案有贡献，就将这两个点之间连一条边。与上题类似，唯一的区别就是：
L[i],R[i],Max的限制。并且，数据范围变小。
其实证明方法类似。
a.存在一种最优的分配方案，任意不相连的两个点，其中至少有一个点点权为为L[i]或R[i]。
证明方法同上。
b.就不一样了
由a得到的结论可得，最优分配方案中，所有点权大于L[i],小于R[i]的点之间，两两都有边（即团）。
这里，设团中的点权和为tot。
设团中某两个点a,b（设点权分别为pa,pb，设pa+pb=S）
设a,b连向团外的点权和分别为Wa,Wb
这两个点对答案的贡献是pa*pb + pa*(tot-S+Wa) + pb*(tot-S+Wb) = -pa^2 + pa*(S+Wa-Wb) + S*(tot-S+Wb)
又是一个二次函数最值问题。
pa = (S+Wa-Wb)/2，pb = (S+Wb-Wa)/2时
（除非pa或pb不在L到R范围内，此时pa或pb有一项为L或R时更优，则a或b不会在团内，所以不考虑这种情况）
最优。
考虑pa和pb的特点：pa-Wa = (S-Wa-Wb)/2， pb-Wb = (S-Wa-Wb)/2。
于是pa - Wa = pb - Wb
所以这个团中的每一个点，pi - Wi是一个定值。
c.如何求解
一个很简单的思路出来了。
枚举哪些点权为L[i]，哪些点权为R[i]，其余点形成团。
这个枚举的过程是3^n
这个基础上求解，
对于团中的每一个点，可以轻易地求出W[i]（定义见b）
也可以知道团的点权和 <= 一个值。设团的点权和 <= sum
由b的结论可得：团中p[i] - W[i]是一个定值。
设p[i] - W[i] = C
又p[i] = C+W[i] <= R[i]，所以C <= R[i] - W[i]。
p[i] = C+W[i] >= L[i]，所以C >= L[i] - W[i]。
同时sigma{p[i]}<=sum，所以sigma{ C+W[i] }<=R[i]。
由于点权总体越大越好，所以C越大越好。解上述不等式，求出最大的C。
最后求出在这种情况下图的边权和，更新答案，便做完了！
真是道好题！
注：可能我的方法不太优秀，欢迎各位大佬在评论区给出更方便的做法
这里给出代码：
1 #include <cstdio>
2 #include <string>
3 #include <vector>
4 #include <cstring>
5 #include <iostream>
6 #include <algorithm>
7 using namespace std;
8 #define _CLASSNAME_ BoundedOptimization
9 #define _METHODNAME_ maxValue
10 #define _RC_ double
11 #define _METHODPARMS_ vector <string> s, vector <int> L, vector <int> R, int maxSum
12 #define ref(i,x,y)for(int i=x;i<=y;++i)
13 #define def(i,x,y)for(int i=x;i>=y;--i)
14 double tot, Ans;
15 int n, maxsum, w[13], W[13];
16 struct xint { int L, R; }p[13];
17 bool a[13][13];
18 bool isletter(char c) { return c >= ‘a‘&&c <= ‘z‘; }
19 double _min(double a, double b) { return a < b ? a : b; }
20 void work(int x) {
21 if (maxsum < 0)return;
22 if (x == n) {
23 double tmp = 2e9; int num = 0, sum = 0;
24 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)tmp = _min(tmp, p[i].R - W[i]), ++num, sum += W[i];
25 tmp = _min(tmp, 1.0*(maxsum - sum) / num);
26 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)if (tmp + W[i] < p[i].L)return;
27 double ans = tot, ans2 = (sum + num*tmp)*(sum + num*tmp);
28 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)ans += (tmp + W[i])*W[i];
29 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)ans2 -= (tmp + W[i])*(tmp + W[i]);
30 ans = ans + ans2 / 2;
31 if (ans > Ans)Ans = ans;
32 return;
33 }
34 int tmp = tot;
35 //first case
36 w[x] = p[x].L;
37 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] += w[x];
38 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])tot += w[i] * w[x];
39 maxsum -= w[x]; work(x + 1); maxsum += w[x];
40 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] -= w[x];
41 tot = tmp;
42 //second case
43 w[x] = p[x].R;
44 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] += w[x];
45 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])tot += w[i] * w[x];
46 maxsum -= w[x]; work(x + 1); maxsum += w[x];
47 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] -= w[x];
48 tot = tmp;
49 //third case
50 w[x] = -1; W[x] = 0;
51 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && !a[x][i])return;
52 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])W[x] += w[i];
53 work(x + 1);
54 W[x] = 0;
55 }
56 class _CLASSNAME_ {
57 public:
58 _RC_ _METHODNAME_(_METHODPARMS_)
59 {
60 string S = "";
61 memset(a, 0, sizeof a);
62 memset(W, 0, sizeof W);
63 memset(w, 0, sizeof w);
64 Ans = 0; tot = 0;
65 ref(i, 0, s.size() - 1)S = S + s[i];
66 ref(i, 0, S.size() - 2)if (isletter(S[i]) && isletter(S[i + 1]))
67 a[S[i] - ‘a‘][S[i + 1] - ‘a‘] = a[S[i + 1] - ‘a‘][S[i] - ‘a‘] = 1;
68 n = L.size();
69 ref(i, 0, n - 1)p[i].L = L[i], p[i].R = R[i];
70 maxsum = maxSum;
71 work(0);
72 return _RC_(Ans);
73 }
74 // BEGIN CUT HERE
75 public:
76 void run_test(int Case) { if ((Case == -1) || (Case == 0)) test_case_0(); if ((Case == -1) || (Case == 1)) test_case_1(); if ((Case == -1) || (Case == 2)) test_case_2(); if ((Case == -1) || (Case == 3)) test_case_3(); }
77 private:
78 template <typename T> string print_array(const vector<T> &V) { ostringstream os; os << "{ "; for (typename vector<T>::const_iterator iter = V.begin(); iter != V.end(); ++iter) os << ‘\"‘ << *iter << "\","; os << " }"; return os.str(); }
79 void verify_case(int Case, const double &Expected, const double &Received) { cerr << "Test Case #" << Case << "..."; if (Expected == Received) cerr << "PASSED" << endl; else { cerr << "FAILED" << endl; cerr << "\tExpected: \"" << Expected << ‘\"‘ << endl; cerr << "\tReceived: \"" << Received << ‘\"‘ << endl; } }
80 void test_case_0() { string Arr0[] = { "ba+cb" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 0,0,1 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 1,2,1 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 3; double Arg4 = 2.25; verify_case(0, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); }
81 void test_case_1() { string Arr0[] = { "ab" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 0, 0, 10 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 20, 20, 20 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 12; double Arg4 = 1.0; verify_case(1, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); }
82 void test_case_2() { string Arr0[] = { "ca+fc+fa+d","b+da+","dc+c","b","+ed+eb+ea" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 10,11,12,13,14,15 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 15,16,17,18,19,20 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 85; double Arg4 = 2029.25; verify_case(2, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); }
83 void test_case_3() {
84 string Arr0[] = { "db+ea+ik+kh+je+","fj+lk+i","d+jb+h","a+gk+mb+ml+lc+mh+cf+fd+","gc+ka+gf+bh+mj+eg+bf+hf+l","b+al+ja+da+i",
85 "f+g","h+ia+le+ce+gi+d","h+mc+fe+dm+im+kb+bc+","ib+ma+eb+mf+jk+kc+mg+mk+","gb+dl+ek+hj+dg+hi","+ch+ga+ca+fl+ij+fa+jl+dc+dj+fk","+li+jg" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 57,29,50,21,49,29,88,33,84,76,95,55,11 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 58,80,68,73,52,84,100,79,93,98,95,69,97 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 845; double Arg4 = 294978.3333333333; verify_case(3, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3));
86 }
87
88 // END CUT HERE
89 };
90 // BEGIN CUT HERE
91
92 int main() {
93 _CLASSNAME_ user;
94 user.run_test(-1);
95 getchar();
96 }
97 // END CUT HERE