1，AVL树又称平衡二叉树，它首先是一颗二叉查找树，但在二叉查找树中，某个结点的左右子树高度之差的绝对值可能会超过1，称之为不平衡。而在平衡二叉树中，任何结点的左右子树高度之差的绝对值会小于等于 1。
2，为什么需要AVL树呢？在二叉查找树中最坏情况下查找某个元素的时间复杂度为O(n)，而AVL树能保证查找操作的时间复杂度总为O(logn)。
3，AVL树的JAVA代码实现：
AVLTree 继承 BinarySearchTree 并改写 添加节点的add方法，在add方法中判断插入元素后是否导致树不平衡，当不平衡时需要通过旋转进行调整。何时进行旋转调整是通过左右子树的高度之差进行判断的。这里通过rebalance方法使得某结点保持平衡：整个程序的完成代码参考最后。
private BinaryNodeInterface<T> rebalance(BinaryNodeInterface<T> nodeN){
int heightDifference = getHeightDifference(nodeN);
if(heightDifference > 1){//左子树比右子树高
if(getHeightDifference(nodeN.getLeftChild()) > 0)
nodeN = rotateRight(nodeN);//插入在左子树的左孩子中
else
nodeN = rotateLeftRight(nodeN);
}
else if(heightDifference < -1){//右子树比左子树高
if(getHeightDifference(nodeN.getRightChild()) < 0)
nodeN = rotateLeft(nodeN);//插入在右子树的右孩子中
else
nodeN = rotateRightLeft(nodeN);
}
return nodeN;
}
4，AVL树的平衡保证算法
当向AVL树中插入或者删除元素时，可能打破树的平衡。这时，需要通过旋转来调整使之重新变成一颗AVL树。（这里讨论插入元素时的调整）
设 N 表示最接近新叶子的不平衡结点，由于插入元素之前树是平衡的，则插入之后不会有比 N 更高的不平衡结点。（树根的高度为 1 ）
一共有 4 种原因导致结点 N 不平衡：
①在 结点 N 的左孩子的左子树中发生了插入操作
进行右旋转调整：即对结点 N 进行右旋转，算法如下：
算法 rotateRight(nodeN) nodeL = nodeN 的左孩子 将nodeN 的左孩子置为 nodeL 的右孩子 将 nodeL 的右孩子置为 nodeN return nodeL
②在 结点N 的右孩子的右子树中发生了插入操作
进行左旋转调整：即对结点N进行左旋转，算法如下：
算法 rotateLeft(nodeN) nodeR = nodeN 的右孩子 将 nodeN 的右孩子置为 nodeR 的左孩子 将 nodeR 的左孩子置为 nodeN return nodeR
③在 结点N 的右孩子的左子树中发生了插入操作
进行右-左旋转，即先对结点N 的孙子(孩子的孩子，"位于新插入元素的那个方向")进行右旋转；再对结点N 的新孩子进行左旋转，算法如下：
算法 rotateRightLeft(nodeN) nodeR = nodeN 的右孩子 将 nodeN 的右孩子置为由 rotateRight(nodeN 的孩子的孩子)返回的结点 return rotateLeft(nodeN 的新的右孩子)
④在 结点N 的左孩子的右子树中发生了插入操作
进行左-右旋转，即先对结点N的孙子进行左旋转，再对结点N的新孩子进行右旋转，算法如下：
算法 rotateLeftRight(nodeN) nodeL = nodeN 的左孩子 将 nodeN 的左孩子置为由 rotateLeft(nodeN 孩子的孩子）返回的结点 return rotateLeft(nodeN 新的左孩子)
5，关于树的平衡性的进一步讨论
除了AVL树之外，还有2-3树、2-4树、红黑树等一系列带有平衡性质的树。其中2-3树和2-4树是完全平衡的，即所有的叶子位于同一层。2-3树的结点至多有两个数据元素，2-4树的结点至多有三个数据元素，这样使得在相同的结点数目下，一般，AVL树比2-3树要高，2-3树比2-4树要高，但是在查找过程中内部结点的比较次数2-4树比2-3要多，2-3树比AVL树要多。因此，总体上看，AVL树、2-3树、2-4树、红黑树的查找都是O(logn)操作。维护平衡性由难到易的排列： AVL树 > 2-3树 > 2-4树 ·= 红黑树。其次，随着对于结点含有3个以上的数据元素的查找树的性能反而会降低，因此这也是为什么没有2-5树……的原因。。。
AVL树的完整JAVA代码实现：
1 package searchtree;
2
3 import tree.BinaryNode;
4 import tree.BinaryNodeInterface;
5
6 public class AVLTree<T extends Comparable<? super T>> extends BinarySearchTree<T> implements SearchTreeInterface<T>,java.io.Serializable {
7 public AVLTree(){
8 super();
9 }
10
11 public AVLTree(T rootEntry){
12 super(rootEntry);
13 }
14
15 /*
16 *@Task : 在AVL树中添加元素
17 */
18 public T add(T newEntry){
19 T result = null;
20 if(isEmpty())
21 setRootNode(new BinaryNode<T>(newEntry));
22 else
23 {
24 BinaryNodeInterface<T> rootNode = getRootNode();
25 result = addEntry(rootNode, newEntry);
26 setRootNode(rebalance(rootNode));
27 }
28 return result;
29 }
30
31 private T addEntry(BinaryNodeInterface<T> rootNode, T newEntry){
32 assert rootNode != null;
33 T result = null;
34 int comparison = newEntry.compareTo(rootNode.getData());//待添加元素与树中已有元素比较以确定添加的位置
35 if(comparison == 0){//待添加元素已存在于树中
36 result = rootNode.getData();
37 rootNode.setData(newEntry);//将新元素替换旧元素
38 }
39 else if(comparison < 0){//添加到左子树中
40 if(rootNode.hasLeftChild()){//继承递归比较
41 BinaryNodeInterface<T> leftChild = rootNode.getLeftChild();
42 result = addEntry(leftChild, newEntry);
43 rootNode.setLeftChild(rebalance(leftChild));
44 }
45 else
46 rootNode.setLeftChild(new BinaryNode<T>(newEntry));
47 }
48 else//添加到右子树中
49 {
50 assert comparison > 0;
51 if(rootNode.hasRightChild()){
52 BinaryNodeInterface<T> rightChild = rootNode.getRightChild();
53 result = addEntry(rightChild, newEntry);
54 rootNode.setRightChild(rebalance(rightChild));
55 }
56 else
57 rootNode.setRightChild(new BinaryNode<T>(newEntry));
58 }
59 return result;
60 }
61
62 public T remove(T newEntry){
63 return null;//暂未实现删除操作
64 }
65
66 /*
67 * @Task: 在 nodeN 结点上进行右旋操作
68 */
69 private BinaryNodeInterface<T> rotateRight(BinaryNodeInterface<T> nodeN){
70 BinaryNodeInterface<T> nodeL = nodeN.getLeftChild();
71 nodeN.setLeftChild(nodeL.getRightChild());
72 nodeL.setRightChild(nodeN);
73 return nodeL;
74 }
75
76 private BinaryNodeInterface<T> rotateLeft(BinaryNodeInterface<T> nodeN){
77 BinaryNodeInterface<T> nodeR = nodeN.getRightChild();
78 nodeN.setRightChild(nodeR.getLeftChild());
79 nodeR.setLeftChild(nodeN);
80 return nodeR;
81 }
82
83 private BinaryNodeInterface<T> rotateRightLeft(BinaryNodeInterface<T> nodeN){
84 BinaryNodeInterface<T> nodeR = nodeN.getRightChild();
85 nodeN.setRightChild(rotateRight(nodeR));
86 return rotateLeft(nodeN);
87 }
88
89 private BinaryNodeInterface<T> rotateLeftRight(BinaryNodeInterface<T> nodeN){
90 BinaryNodeInterface<T> nodeL = nodeN.getLeftChild();
91 nodeN.setLeftChild(rotateLeft(nodeL));
92 return rotateRight(nodeN);
93 }
94
95 private BinaryNodeInterface<T> rebalance(BinaryNodeInterface<T> nodeN){
96 int heightDifference = getHeightDifference(nodeN);
97 if(heightDifference > 1){//左子树比右子树高
98 if(getHeightDifference(nodeN.getLeftChild()) > 0)
99 nodeN = rotateRight(nodeN);//插入在左子树的左孩子中
100 else
101 nodeN = rotateLeftRight(nodeN);
102 }
103 else if(heightDifference < -1){//右子树比左子树高
104 if(getHeightDifference(nodeN.getRightChild()) < 0)
105 nodeN = rotateLeft(nodeN);//插入在右子树的右孩子中
106 else
107 nodeN = rotateRightLeft(nodeN);
108 }
109 return nodeN;
110 }
111
112 //获得结点nodeN的左右子树的高度之差
113 private int getHeightDifference(BinaryNodeInterface<T> nodeN){
114 int leftHeight = 0;
115 int rightHeight = 0;
116 if(nodeN.getLeftChild() != null){
117 leftHeight = nodeN.getLeftChild().getHeight();
118 }
119 if(nodeN.getRightChild() != null){
120 rightHeight = nodeN.getRightChild().getHeight();
121 }
122 return leftHeight - rightHeight;
123 }
124 }
整个实现的依赖代码参考：https://github.com/hapjin/data-structures-and-abstraction-with-java 中的tree、searchtree、list 目录下代码。