鸽巢原理又名抽屉原理
一种简单的表述法为：
- 若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。
另一种为：
- 若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。
例子：
- 盒子里有10只黑袜子、12只蓝袜子，你需要拿一对同色的出来。假设你总共只能拿一次，只要3只就可以拿到相同颜色的袜子，因为颜色只有两种（鸽巢只有两个），而三只袜子（三只鸽子），从而得到“拿3只袜子出来，就能保证有一双同色”的结论。
- 有n个人（至少2人）互相握手（随意找人握），必有两人握手次数相同。
一种表达是这样的：如果要把n个物件分配到m个容器中，必有至少一个容器容纳至少⌈n / m⌉个物件。（⌈x⌉大于等于x的最小的整数）
容斥原理又称排容原理
（1）两个集合容斥关系
（2）三个集合容斥关系
（3）n个集合的容斥关系
即1个集合的并-2个集合的并+3个集合的并-4个集合的并+5个集合的并......
鸽巢：
pku2365 Find a multiple
题目意思是给n个数，选择其中一些数，使他们的和是n的k倍，k是自然数。只要输出其中正确的解就行
分析：
这n个数有n个前缀和,s[0],s[1],s[2]...s[n]，并且对n取余
如果有s[i]==0，则输出0-i之间的数
如果不存在s[i]==0, 则s[i]一定在[1,n-1]之间 ，
根据鸽巢原理，n个物体放入n-1个盒子，至少有一个盒子有两个及以上的物体，所以题目一定有解
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 10010
int n;
int arr[maxn],s[maxn],h[maxn];
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
memset(h,-1,sizeof(h));
int x;
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&arr[i]);
s[i]=(s[i-1]+arr[i])%n;
}
int a,b;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(s[i]==0)
{
a=0;
b=i;
break;
}
else{
if(h[s[i]]!=-1)
{
a=h[s[i]]+1;
b=i;
break;
}
else h[s[i]]=i;
}
}
printf("%d\n",b-a+1);
for(int i=a;i<=b;i++)printf("%d\n",arr[i]);
}
return 0;
}
pku3370 Halloween treats
和pku2365相同，c个孩子在n个neighbor中要选择糖果，使得糖果总和是c的倍数
注意鸽巢原理的使用范围，有n-1个盒子，至少n个物体，如果neighbor给的糖数为0，则盒子数量要减少，当然没有这种数据了
tip:数组下标尽量不要用-1，或者每次让s[-1]=0，进行初始化。这个地址由于没有跟着数组空间一起初始化，所以其中的数据是不一定的，
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 100010
#define ll long long
int c,n;
int h[maxn],a[maxn],x;
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&c,&n))
{
if(c==0&&n==0)break;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
memset(h,-1,sizeof(h));
int s=0;
h[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s=(s+a[i])%c;
// printf("* %d %d\n",i,s);
if(h[s]!=-1)
{
for(int j=h[s]+1;j<i;j++)
{
printf("%d ",j);
}
printf("%d\n",i);
break;
}
else h[s]=i;
}
}
return 0;
}
容斥：
hdu1695 GCD
x=[a,b] , y=[c,d] 求gcd(x,y)=k 的组合数 ,a=1,c=1 ，(x,y),(y,x)是同一种组合
用容斥原理+二进制枚举。
先把b/=k ,d/=k
问题变成x=[1,b] y=[1,d] ,其中(x,y)互质的对数
枚举x，预处理x的质因子，假设w是x的质因子，1-d中w的倍数有d/w个
假设f(n)表示1-d中n个x的质因子乘积的倍数
容斥原理：不与x互质的个数=f(1)-f(2)+f(3)-f(4)...
注意：答案很大，用long long存
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
#define maxn 100010
#define ll long long
vector<int>v[maxn];
bool is[maxn];
void prime()
{
for(int i=0;i<maxn;i++)v[i].clear();
memset(is,false,sizeof(is));
is[0]=is[1]=true;
for(int i=2;i<maxn;i++)
{
for(int j=i;j<maxn;j+=i)
{
if(!is[i])
{
v[j].push_back(i);
if(j>i)is[j]=true;
}
}
}
}
int work(int u,int s,int d)// d是范围1-d s是状态压缩 u是素因子表
{
int cnt=0;
int mul=1;
for(int i=0;i<v[u].size();i++)
{
if((1<<i)&s){
mul*=v[u][i];
cnt++;
}
}
int all=d/mul-(u-1)/mul;//u-d 内s选择状态因子的倍数的个数(d>u)
if(cnt%2==0)all=-all;
return all;
}
int main()
{
prime();
int T;
scanf("%d",&T);
for(int ca=1;ca<=T;ca++)
{
int a,b,c,d,k;
ll ans;
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
if(k==0)ans=0;
else{
ans=0;
b/=k;d/=k;
if(b>d)b^=d^=b^=d;
for(int i=1;i<=b;i++)
{
ans+=d-i+1;//(x,y) 和(y,x)算一种 选择范围i-d
int p=(1<<v[i].size());//p是素因子是否选取的所有状态
for(int j=1;j<p;j++)
{
ans-=work(i,j,d);
}
}
}
printf("Case %d: %lld\n",ca,ans);
}
return 0;
}
/*
2
1 1 1 5 1
1 5 1 1 1
*/
hdu2461 Rectangles
给你n（n很小）个长方形，求这中间任意长方形的面积并。容斥
tip:结构体数组会初始化为0，结构体变量不会初始化为0
因为这个tle，还以为是算法错了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
struct rec
{
int x1,y1,x2,y2;
}a[30];
vector<int>v;
int s[(1<<20)+10];
rec intersec(rec a, rec b)
{
rec c;
if(a.x2<=b.x1||a.y2<=b.y1||a.x1>=b.x2||a.y1>=b.y2){
c.x1=c.x2=c.y1=c.y2=0;//注意没有交集要赋值0，否则tle，In_exclusion中停不下来！
return c;
}
c.x1=max(a.x1,b.x1);
c.y1=max(a.y1,b.y1);
c.x2=min(a.x2,b.x2);
c.y2=min(a.y2,b.y2);
return c;
}
int Area(rec r)
{
if(r.x1>=r.x2||r.y1>=r.y2)
return 0;
return (r.y2-r.y1)*(r.x2-r.x1);
}
int In_exclusion(int k,rec r)
{
if(k>=v.size()||Area(r)==0)
{
return 0;
}
int ret=0;
for(int i=k;i<v.size();i++)
{
rec tmp=intersec(a[v[i]],r);
ret+=Area(tmp)-In_exclusion(i+1,tmp);
}
return ret;
}
int main()
{
rec tot;
tot.x1=tot.y1=0;
tot.x2=tot.y2=1000;
int ca=1;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
if(n==0&&m==0)break;
printf("Case %d:\n",ca++);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d%d",&a[i].x1,&a[i].y1,&a[i].x2,&a[i].y2);
memset(s,0,sizeof(s));//do not forget else get tle
for(int i=1;i<=m;i++)
{
v.clear();
int R;
int id;
scanf("%d",&R);
int add=0;
while(R--)
{
scanf("%d",&id);
v.push_back(id);
add=add|(1<<(id-1));
}
if(s[add]==0)s[add]=In_exclusion(0,tot);
printf("Query %d: %d\n",i,s[add]);
}
puts("");
}
return 0;
}
/*
3 2
0 0 2 3
1 1 4 5
0 2 3 4
2 1 2
3 1 2 3
*/
时间： 2024-07-30 05:21:34