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利用等概率Rand5产生等概率Rand3
问题本身很明确，但不知道起个什么题目好，姑且先这么说吧。
问题描述：现在有一个叫做Rand5的函数，可以生成等概率的[0, 5)范围内的随机整数，要求利用此函数写一个Rand3函数（除此之外，不能再使用任何能产生随机数的函数或数据源），生成等概率的[0, 3)范围内的随机整数。
我第一次遇到这个问题的时候，着实犯了一回傻，自以为是地证明了这个题目是无解的。其实从概率的角度来看，题目的要求就是，利用一个1/5的概率源，通过某种方式产生出1/3的概率输出。我们都知道，概率运算法则有加法和乘法，而在我的记忆中，算法是“在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则”，算法的一个重要特征就是有穷性，即一个算法必须保证执行有限步之后结束。那么有限多个1/5通过加法和乘法是不可能的到1/3这个数值的，因为加法和乘法都不会给分母带来新的因子，那么分母中的3根本就不可能出现。
然而我忽略了这样一个式子：
∑i=0∞(25)i=11−25=53
基于这个想法，我们来看看这个算法是什么样子的：
1 2 3 4 5 |
def Rand3():
x = -1
while not 0 <= x < 3:
x = Rand5()
return x
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
int Rand3()
{
int x;
do
{
x = Rand5();
} while (x >= 3);
return x;
}
|
算法很简单，x是我们最终要输出的数字，只要它不在[0, 3)范围内，就不断地调用Rand5来更新它。直观地看，算法输出的数字只有0、1、2这三个，而且对任何一个都没有偏袒，那么显然每个数字的概率都是1/3，那让我们来严格地计算一下。
以输出0为例，看看概率是多少。x的第一个有效数值是通过Rand5得到的。Rand5返回0的概率是1/5，如果这事儿发生了，我们就得到了0，否则只有当Rand5返回3或4的时候，我们才有机会再次调用它来得到新的数据。第二次调用Rand5之后，又是有1/5的概率得到0，2/5的概率得到3或4导致循环继续执行下去，如此反复。因此概率的计算公式为：
p=====15+25×(15+25×(15+25×(?)))15×∑∞i=0(25)i15×11−2515×5313
喏，计算表明，Rand3输出0的概率确实是1/3，对于另外两个数字也是一样的。
那么这段代码是不是一个算法呢，它是否满足算法的有穷性呢？我不能确定，虽然它不停机的概率是0，然而这个概率是一个极限值，唉，回去复习极限知识先。
【2013年11月7日添加】今天想到，对于上面那个函数，需要再了解一下它消耗的时间。具体来讲，就是要知道平均每调用一次Rand3，相当于调用了多少次Rand5。根据算法可以知道，Rand3函数执行一次，有3/5的概率是只调用一次Rand5就能停机；刚好调用两次Rand5后停机的概率是(2/5) * (3/5)。类推下去，刚好调用k次Rand5后停机的概率应该是(2/5) ^ (k-1) * (3/5)。根据这个概率分布，可以计算出停机前Rand5被调用次数的数学期望，即
∑k=1∞k×p(k)=∑k=1∞k35(25)k−1=35×1(1−25)2=53
可见，Rand3函数每运行一次，平均需要调用1.67次Rand5。
更一般地，当我们依据上述算法，将一种分布的随机信号转换成另外一种随机信号时，如果每消耗m个源信号，就有p的概率可以产生一个目标信号，那么平均来讲，停机前需要使用的源信号数据个数的期望为：
∑k=1∞k⋅m⋅p⋅(1−p)k−1=mp
【2013年11月7日添加结束】
改变一下题目，如果要求利用Rand5编写Rand7怎么办？很简单，用两个Rand5可以拼出Rand25，然后就用前面的方法即可：
1 2 3 4 5 |
def Rand7():
x = -1
while not 0 <= x < 21:
x = Rand5() * 5 + Rand5()
return x % 7
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
int Rand7()
{
int x;
do
{
x = Rand5() * 5 + Rand5();
} while (x >= 21);
return x % 7;
}
|
【2013年11月7日】可以直接算出，按照这种方法，平均每运行一次Rand7，需要调用Rand5的次数。这里m等于2，p等于21/25，所以最后的结果是50/21，大约是2.38。