单一变量的线性回归

让我们依然以房屋为例，如果输入的样本特征是房子的尺寸，我们需要研究房屋尺寸和房屋价格之间的关系，假设我们的回归模型训练集如下

其中我们用

m表示训练集实例中的实例数量，

x代表特征（输入）变量，

y代表目标变量

（x,y）代表实例

根据线性回归模型hΘ(x） = Θ0+Θ1*x1       （Θ是模型参数）

需要找出Θ0,Θ1，使得平均误差最小。J(Θ0,Θ1)称为代价函数。

根据不同的特征值，我们按照如下步骤进行迭代更新，以此来得到不同的Θ：

执行过程中，同步更新Θ0，Θ1

其中的α是学习速率，也就是所谓的迈出的步幅，一个合适的步幅有助于函数更快的收敛，每次迭代的过程实质就是对J（Θ）求偏导数，得到当前点要往下一步迈出的方向，之后根据α进行更新到新的点。如果步幅过大容易导致迭代过程发散，过小的情况下容易导致收敛过于慢。

在上个式子中，我们吧J（Θ）带入，然后我们可以得到新的算法表达式：

以上只是对特殊情况，即一元的线性回归，那么在更通常的情况下，我们所要解决的问题是多元的现行回归。

多元线性回归：

现在假设有以下特征向量：

对于上述学习资料，我们用

x（i）表示第i组训练样本的特征向量，如x(2)=[1416, 3,2,40]表示第二组特征向量

xj(i)表示第i组训练样本的第j个特征。

多元线性回归假的设函数

此时模型中的参数是一个n+1维的向量，任意一个训练实例也是，特征矩阵是一个m*(n+1)维的。此时公式可以化简为，其中θT是转置矩阵。

同理我们可以写出它的代价函数，（以后用J（θ）简化表示）

同理，我们可以得出它的梯度下降算法：

开始随机选择一系列的参数值，计算所有的预测结果，再给所有的参数一个新的值，直到函数收敛。

梯度下降算法的优化与数学分析：

在面对数值差距过大的不同特征值时，比如x1大多在1000左右，x2，x3在10左右，那么这时如果我们之间进行收敛，它的等高图中看我们的收敛过程如图所示：

这时容易导致步幅过大而难以收敛，解决方法是尽可能让xn尽可能的接近,我们把x1 x2除以一个合适的数值，使得他们的范围都在0-1左右，这时图像会变成下图所示

简单的说，处理方法通常可以表示为

学习率的选择，选择一个合适的学习率有利于我们更快的让θ收敛

有时候，所给出的数据并不利于我们使用线性回归，这时候，我们就需要对特征值进行修改来适应我们的数据，比如x1是房屋临街的宽度x2是房屋的深度，x = x1 * x2 这时候我们需要一个二次方模型或者三次方模型来解决这些问题

那么我们通常需要观察数据，通过函数特性x2 = x2^2 x3 = x3^3,从而将函数转化成我们可以解决的线性回归模型。

根据图形的特性，我们还可以修改h(θ)x 

或者来解决问题。

现在，我们再通过数学角度来看待这个问题，实际上我们可以直接算出收敛后的θ值，这个方法被称为正规方程法，例如我们假设训练集特征矩阵为x（包含了x0 = 1）并且我们的训练集特征结果为向量y，则利用正规方程我们可以计算出向量θ：，在Octcave中，我们可以用如下方法计算得出：pinv(x‘*x)*x‘*y 值得注明的是，对于不可逆的矩阵，（通常因为特征向量之间不独立），正规方程法是不能解决的。而且，对于过大的数据量（＞10000），正规方程法因为矩阵过大而难以计算，所以此时我们会更多的用梯度下降法。

正规方程的不可逆性：是不可逆的。

接下来会讨论如何同octave设计实践该算法。