https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation
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在数学特别是抽象代数中，同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系。
目录
模算术
元型例子是模算术：对于一个正整数n，两个整数a和b被称为同余模n，如果a − b整除于n（还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的余数）。
例如，5和11同余模3：
- 11 ≡ 5 (mod 3)
因为11 − 5得出6，它整除于3。或者等价的说，这两个数除以3得到相同的余数：
- 11 = 3×3 + 2
- 5 = 1×3 + 2
如果 a 1 ≡ b 1 ( mod n ) {\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}} 
并且 a 2 ≡ b 2 ( mod n ) {\displaystyle a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}} 
，则 a 1 + a 2 ≡ b 1 + b 2 ( mod n ) {\displaystyle a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}} 
并且 a 1 a 2 ≡ b 1 b 2 ( mod n ) {\displaystyle a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}} 
。这把同余(mod n)变成了在所有整数的环上的一个等价。
线性代数
- P ? A P = B {\displaystyle P^{\top }AP=B}
。
。对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的，当且仅当它们有相同的惯性。所以，全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。
对于复数矩阵，必须区分“T合同”（A和B是T合同，如果有可逆矩阵P使得PTAP = B）和“*合同”（A和B是*合同，如果有可逆矩阵P使得P*AP = B）。
泛代数
想法是推广到泛代数中：代数A上的同余关系是直积A×A的子集，它既是在A上的等价关系又是A×A的子代数。
同态的核总是同余。实际上，所有同余引起自核。对于给定在A上的同余~，等价类的集合A/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有A的元素到它的等价类的函数是同态，这个同态的核是~。
群的同余、正规子群和理想
在群的特殊情况下，同余关系可以用基本术语描述为：如果G是群（带有单位元e）并且~是在G上的二元关系，则~是同余只要：
- 给定G的任何元素a，a ~ a（自反关系）。
- 给定G任何的元素a和b，如果a ~ b，则b ~ a（对称关系）。
- 给定G的任何元素a,b和c，如果a ~ b 并且b ~ c，则a ~ c（传递关系）。
- 给定G的任何元素a,a‘,b和b‘ ，如果a ~ a‘ 并且b ~ b‘ ，则a * b ~ a‘ * b‘ 。
- 给定G的任何元素a和a‘ ，如果a ~ a‘ ，则a−1 ~ a‘ −1（这个条件可以从其他四个条件证明，所以严格上是冗余的）。
条件1, 2和3声称~是等价关系。
同余~完全确定自G的同余于单位元的那些元素的集合{a ∈ G : a ~ e}，而这个集合是正规子群。特别是，a ~ b当且仅当b−1 * a ~ e。所以替代谈论在群上同余，人们通常以正规子群的方式谈论它们；事实上，所有同余都唯一的对应于G的某个正规子群。
环理想和一般情况的核
类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同余关系，在模理论中为子模来替代同余关系。
这个技巧不适用于幺半群，所以同余关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。
n {\displaystyle n} 
is a congruence relation on the ring of integers, and arithmetic modulo n {\displaystyle n} occurs on the corresponding quotient ring.