lrj 9.4.1 最长上升子序列 LIS

p275

d(i)是以Ai为结尾的最长上升子序列的长度

《算法竞赛入门经典-训练指南》p62 问题6 提供了一种优化到 O(nlogn)的方法。

在O(nlogn)的算法分析中(从“假设已经计算出的两个状态...”开始),

用g(i)表示d值为i的最小状态编号,状态编号就是数组下标

g(1) <= g(2) <= g(3) <= ... <= g(n)

可以用反证法:

假设 i < j, g(i) > g(j)

g(j)代表 d(x) = j 的最小 x,对应的LIS的长度为j,设这个LIS为LISj

g(i)代表 d(y) = i 的最小 y,对应的LIS的长度为i

LISj有j个成员,其他取i个成员是一个LIS,长度为i,这个LIS的最后一个成员的下标 < g(j) < g(i),而 g(i) 应该是长度为i的LIS的最小下标,所以矛盾,得证 #

《挑战程序设计竞赛》p64 也有类似分析

时间: 2024-10-05 06:21:29

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