【函数式】Monads模式初探——Endofunctor

自函子

自函子（Endofunctor）是一个将范畴映射到自身的函子（A functor that maps a category to itself）。函子是将一个范畴转换到另一个范畴，所以自函子是一种特殊的函子。

由三部分组成：

1. 一组元素对象
2. 一组态射
3. 态射组合（二元运算）

如果这个范畴满足结合律，那么它是一个半群；如果半群满足幺元（单位元，identity），那么它是幺半群（Monoid）。

因此，函子是将一个Monoid中的元素对象映射到另外一个Monoid的元素对象，态射也是这么映射的。而自函子映射的这两个Monoid是同一个。

假设这个自函子为F，则对于F[Int]作用的结果仍是Int，对于函数f: Int=>String映射的结果F[f]也仍是函数f，所以自函子对范畴中的元素和关系不做任何改变。

Hask范畴

Haskell里的所有类型和函数都放到一个范畴里，取名为Hask。

解释上图，A,B代表普通类型如String,Int,Boolean等，这些(有限的)普通类型是一组类型集合，还有一组类型集合是衍生类型(即由类型构造器与类型参数组成的)，这是一个无限集合(可以无限衍生下去)。这样范畴Hask就涵盖了haskell中所有的类型。

对于范畴Hask来说，如果有一个函子F，对里面的元素映射后，其结果仍属于Hask，比如我们用List这个函子：

List[A], List[List[A]], List[List[List[A]]]…

发现这些映射的结果也是属于Hask范畴(子集)，所以这是一个自函子，实际上在Hask范畴上的所有函子都是自函子。

分形

Hask范畴结构是一个分形（fractal）结构。

如上面的这片叶子，它的每一簇分支，形状上与整体的形状是完全一样的，即局部与整体是一致的结构，并且局部可以再分解下去。

这种结构在函数式语言里也是很常用的，最典型的如List结构，由head和tail两部分组合而成，而每个tail也是一个List结构，可以递归的分解下去。

特别说明

由于关于自函子的中文介绍比较少，所以这篇文章我基本都是引用hongjiang的自函子(Endofunctor)是什么。

希望加深理解之后，再填充更多原创内容。

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