UVa11440 - Help Tomisu(数论)

题意：给定n和m，求[2,n!]中，所有质因子个数都大于m的个数

思路：?(m!)表示小于m!并与m!互质的个数，而与m!互质的个数，他的质因子肯定不包含1-m，因此就是满足条件的。然后对于这题而言，则是要求n!中，不与m!互质的个数，答案取模100000007

那么先看一个证明：

求kn中与n互质的个数，答案为k?(n)。

?(n)表示1-n中与n互质的个数，那么由此考虑[n
+ 1, 2n], [2n + 1, 3n]...这每个区间中的每个数字都等于1-n中数字加上kn,对于原来就与n不互质的个数，加上n仍会有一个质因子重复，所以仍然不行，那么对于原来互质的数x,gcd(x, n) = 1,那么可知gcd(x + kn, n) = 1，仍然是互质的，所以每隔n的区间与n互质的个数是相同的，所以答案k?(n)

所以对于这道题目，答案就变成了n!/m!?(m!)，那么问题只剩下如何求?(m!)。

已知?(n)求法为n?(1?1/p1)?(1?1/p2)....(1?1/pn)
(p为n的质因子)，因此对于m!而言，分子为m!，分母为1
- m所有质数的(1?1/p)之乘积

到这里答案就可以求了，把m!消掉，得到n!/∏(1?1/pi)mod1000000007，先预处理那些表，每次去计算即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
const long long N = 10000005;
const long long mod = 100000007;
long long ispri[N],fac[N],phi[N];
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
    if(!b) { x=1;y=0;return a; }
    long long d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y -= a/b*x;
    return d;
}
long long inv(long long a,long long n){
    long long x,y;
    exgcd(a,n,x,y);
    return (x+n)%n;
}
void get_table(){
    fac[0]=fac[1]=1; phi[0]=phi[1]=1;
    for(long long i=2;i<N;i++){
        fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
        if(ispri[i]){
            phi[i]=phi[i-1];
            continue;
        }
        phi[i]=phi[i-1]*(i-1)%mod*inv(i,mod)%mod;
        for(long long j=i*i;j<N;j+=i)
            ispri[j]=1;
    }
}
int n,m;
int main()
{
    get_table();
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n){
        printf("%lld\n",((fac[n]*phi[m]-1)%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}

最近刷题感觉好少，光注意题量有感觉特别忙碌，总结也还没写。最近的课程也落下不少。。。

先把题量刷上来！