关于异或（Xor）的一点笔记

因为博弈论里，尤其实在求sg函数时，经常会用到异或运算，所以我就把网上搜到的一些相关知识和自己的一些理解记下来。

如果出现差错，还请指出，谢谢！

异或：可以简称Xor，可以用数学符号⊕表示，计算机就一般可以用^表示了。

异或运算主要指二进制中。

　　0⊕0=0,0⊕1=1

　　1⊕0=1,1⊕1=0

可以看成是两个值相同得0,不同得1。

另一种求值方法就是两数相加，但是不进位，如1⊕1=0，可以看作1+1=10,但是不进位，所以1⊕1=0。

关于一些运算法则

1. a ⊕ a = 0

2. a ⊕ b = b ⊕ a

3. a ⊕b ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c;

4. d = a ⊕ b ⊕ c  可以推出 a = d ⊕ b ⊕ c.

5. a ⊕ b ⊕ a = b.

我举例说明一下法则5的运用。

例题：已知一串只含大于0的int型整数的数字，其中大部分数都出现了两次，但只有一个数只出现了一次，求这个数的值。

　　   如5 5 3 2 2 1 3，数字5，3，2都出现了两次，而只有1只出现了一次，所以这串数字的答案为1。又如3,4,5,5,4,2,3 的答案为2。

对于这题，可以使用hash数组，但可能会使用过大的空间。如果用异或就简单许多了。因为a⊕a=0; 0⊕b=b;a⊕b⊕a=b;

如5 5 3 2 2 1 3求异或  5 ⊕ 5 ⊕ 3 ⊕ 2 ⊕ 2 ⊕ 1 ⊕ 3 = 5 ⊕ 5 ⊕ 3 ⊕ 3 ⊕ 2 ⊕ 2 ⊕ 1 = 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1;数列中出现两次的数5,3,2在异或都将得出0，因此得出只出现一次的数字1。

这题只要将所有数字异或即可得只出现一次的数字。而且这方法极大的节约了空间和时间。