COJ0700 数学（一）

首先有这样一个定理：

若p是一个质数，x是一个整数，且x^2 mod p = 1，那么x ≡ ±1 (mod p)。

证明：x^2 mod p = 1       ->       p | x^2 - 1        ->       p | (x - 1)(x + 1)，又因为p是质数故x-1与x+1中有一个是p的倍数。

但这个定理的逆定理是个假命题，不过它很少有反例。我们就可以利用逆定理来判定素数了。

设待测数为n，任取一个比n小的正整数a，设 n - 1 = r * 2^s，若n是质数则以下条件至少有一个成立：
1.a^s mod n = 1

2.存在一个整数i满足：0<=i<s且a^(d*(2^i)) mod n = -1

重复以上步骤3至4次即可稳定出解。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
using namespace std;
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c==‘-‘) f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-‘0‘;
    return x*f;
}
typedef long long ll;
ll pow(ll n,ll m,ll p) {
    ll ans=1,t=n;
    while(m) {
        if(m&1) (ans*=t)%=p;
        (t*=t)%=p;m>>=1;
    }
    return ans;
}
int check(ll a,ll n,ll r,ll s) {
    ll ans=pow(a,r,n);if(ans==1) return 0;
    rep(1,s) {
        if(ans==n-1) return 0;
        (ans*=ans)%=n;
    }
    return 1;
}
int isprime(ll n) {
    if(n==2) return 1;
    if(n<=1||!(n&1)) return 0;
    int r=n-1,s=0;
    while(!(r&1)) r>>=1,s++;
    rep(1,3) if(check(rand()%(n-1)+1,n,r,s)) return 0;
    return 1;
}
int main() {
    int T=read(),ans=0;
    while(T--) ans+=isprime(read());
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}