最近看《数据结构与算法分析》一书,书中提供的一些算法太棒了,忍不住动手实现了下。有错误请指出,谢谢。
最大子序列问题求解:
1.第一种解法:
int MaxSubSequence(const int array[], int length){
if (length < 0) //数组长度不可以为0.
return 0;
int MaxSum = 0,ThisSum;
for (int i = 0; i < length; ++i){
for (int j = i; j < length; ++j){
ThisSum=0;
for (int k = i; k < j + 1; ++k){
ThisSum += array[k];
if (ThisSum>MaxSum)
MaxSum = ThisSum;
}
}
}
return MaxSum;
}
/*时间复杂度为O(N3),不是很完美的算法。但是想法很简单。
假设有序列A0,A1,A2......AN-1。既然要求最大子序列。那么最笨的方法就是依次求出A0,A0+A1....A0+...AN-1......AN-1.通过枚举就可以求出。但是交给计算机实现就可以用循环实现了。*/
2.优化解法一:
int MaxSubSequence(const int array[], int length){
if (length < 0) //数组长度不可以为0.
return 0;
int ThisSum, MaxSum = 0;
for (int i = 0; i < length; ++i){
ThisSum = 0;//注意
for (int j = i; j < length; ++j){
ThisSum += array[j];
if (ThisSum>MaxSum)
MaxSum = ThisSum;
}
}
return MaxSum;
}
/*可以看到对比上面我们少了一层循环,现在的时间复杂度就变成了O(N2),提升不少。
3.优化解法二:
//递归版本.首先确定基准情况。
int Max_numbers(int number1, int number2, int number3){
if (number1 < number2)
number1 = number2;
return (number1>number3) ? number1 : number3;
}
int MaxSub(const int array[], int left,int right){
if (right == left)
if (array[left] > 0)
return array[left];
else
return 0;
int center = (right+left)/2;
int LeftMax = 0, RightMax=0;
LeftMax=MaxSub(array, left, center);
RightMax=MaxSub(array, center + 1, right);
int LeftBorderSum = 0, RightBorderSum = 0;
int LeftMaxSum = 0, RightMaxSum = 0;
for (int i = center; i >= left; --i){
LeftBorderSum += array[i];
if (LeftBorderSum > LeftMaxSum)
LeftMaxSum = LeftBorderSum;
}
for (int i = center + 1; i < right + 1; ++i){
RightBorderSum += array[i];
if (RightBorderSum>RightMaxSum)
RightMaxSum = RightBorderSum;
}
return Max_numbers(LeftMax, RightMax, LeftMaxSum + RightMaxSum);
}
int MaxSubSequence(const int array[], int length){
if(length <0)
return 0;
return MaxSub(array, 0, length - 1);
}
/*这个算法太精妙了。反正我承认我是想不出如此使用递归。简单的分析下递归的用法,具体的可以去翻书。对于这个最大子序列问题,最大子序列可能出现在前面部分,后面部分,以及中间部分(包括前面部分的最后一个元素,后面部分的第一个元素)。然后这样分析下差不多就能理清代码轮廓了,具体的还是自己慢慢钻研。时间复杂度为O(NlogN),对比上面又优化了一下,但是付出了相应的代价,代码不好读了。
最后一种优化方法:
int MaxSubSequence(const int array[], int length){
if (length < 0)
return 0;
int ThisSum=0, MaxSum = 0;
for (int i = 0; i < length; ++i){
ThisSum += array[i];
if (ThisSum>MaxSum)
MaxSum = ThisSum;
else if (ThisSum < 0)
ThisSum = 0;
}
return MaxSum;
}
/*这个算法更精妙了。复杂度和代码可读性控制都比较完美,书上称之为联机算法。算法的思想比较精妙,省去了前面算法中很多无效的步骤。比如算法中有一个判断thissum<0的条件。试想一下最大子序列的第一个数一定是不可能是复数的,所以直接把thissum设置为0。
举个例子:-1,2,-3,4,5,6,-1;
按照最前面的两个算法,肯定是先计算 -1;-1+2;-1+2+-3;但是最后一个算法直接把-1剔除了,直接从2;2+-3...开始算起,是不是节省了大量时间。重点是把握住性质。
ps:其实上述的函数传入参数还可以进行优化,可以参看前面的博文。等有空会写一下。
测试:
#include <iostream>
#include <assert.h>
/*int MaxSubSequence(const int array[], int length){
if (length < 0) //数组长度不可以为0.
return 0;
int MaxSum = 0,ThisSum;
for (int i = 0; i < length; ++i){
for (int j = i; j < length; ++j){
ThisSum=0;
for (int k = i; k < j + 1; ++k){
ThisSum += array[k];
if (ThisSum>MaxSum)
MaxSum = ThisSum;
}
}
}
return MaxSum;
}*/
/*int MaxSubSequence(const int array[], int length){
if (length < 0) //数组长度不可以为0.
return 0;
int ThisSum, MaxSum = 0;
for (int i = 0; i < length; ++i){
ThisSum = 0;
for (int j = i; j < length; ++j){
ThisSum += array[j];
if (ThisSum>MaxSum)
MaxSum = ThisSum;
}
}
return MaxSum;
}*/
//递归版本.首先确定基准情况。
/*
int Max_numbers(int number1, int number2, int number3){
if (number1 < number2)
number1 = number2;
return (number1>number3) ? number1 : number3;
}
int MaxSub(const int array[], int left,int right){
if (right == left)
if (array[left] > 0)
return array[left];
else
return 0;
int center = (right+left)/2;
int LeftMax = 0, RightMax=0;
LeftMax=MaxSub(array, left, center);
RightMax=MaxSub(array, center + 1, right);
int LeftBorderSum = 0, RightBorderSum = 0;
int LeftMaxSum = 0, RightMaxSum = 0;
for (int i = center; i >= left; --i){
LeftBorderSum += array[i];
if (LeftBorderSum > LeftMaxSum)
LeftMaxSum = LeftBorderSum;
}
for (int i = center + 1; i < right + 1; ++i){
RightBorderSum += array[i];
if (RightBorderSum>RightMaxSum)
RightMaxSum = RightBorderSum;
}
return Max_numbers(LeftMax, RightMax, LeftMaxSum + RightMaxSum);
}
int MaxSubSequence(const int array[], int length){
if(length <0)
return 0;
return MaxSub(array, 0, length - 1);
}*/
//最后一个解法:
int MaxSubSequence(const int array[], int length){
if (length < 0)
return 0;
int ThisSum=0, MaxSum = 0;
for (int i = 0; i < length; ++i){
ThisSum += array[i];
if (ThisSum>MaxSum)
MaxSum = ThisSum;
else if (ThisSum < 0)
ThisSum = 0;
}
return MaxSum;
}
int main(){
int arr_1[8] = {4,-3,5,-2,-1,2,6,-2};
std::cout<<MaxSubSequence(arr_1,8);
system("pause");
return 0;
}
时间: 2024-10-31 00:22:49