SoftMax回归 http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92
我们的训练集由 
个已标记的样本构成：
，其中输入特征
。（我们对符号的约定如下：特征向量 
的维度为 
，其中 
对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 
。假设函数(hypothesis function) 如下：
我们将训练模型参数 
，使其能够最小化代价函数 ：
在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 
可以取 
个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ，我们有 
。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有 
个不同的类别。
对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 
。也就是说，我们想估计 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数 
形式如下：
其中 
是模型的参数。请注意 
这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。
为了方便起见，我们同样使用符号 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 用一个 
的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 
按行罗列起来得到的，如下所示：
代价函数
现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中，
是示性函数，其取值规则为：
值为真的表达式 
， 值为假的表达式 
。举例来说，表达式 
的值为1 ，
的值为 0。我们的代价函数为：
值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：
可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 分类为类别 
的概率为：
.
.对于 
的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：
让我们来回顾一下符号 "
" 的含义。
本身是一个向量，它的第 
个元素 
是 对
的第 个分量的偏导数。
有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: 
(
）。
当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。
Softmax回归模型参数化的特点
Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 中减去了向量 
，这时，每一个 都变成了 
()。此时假设函数变成了以下的式子：
换句话说，从 中减去 完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 
。
进一步而言，如果参数 
是代价函数 的极小值点，那么 
同样也是它的极小值点，其中 可以为任意向量。因此使 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）
注意，当 
时，我们总是可以将 
替换为
（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 （或者其他 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 个参数 （其中 
），我们可以令 
，只优化剩余的 
个参数，这样算法依然能够正常工作。
在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 
，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。
权重衰减
我们通过添加一个权重衰减项 
来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：
有了这个权重衰减项以后 (
)，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。
为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 的导数，如下：
通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。
Softmax回归与Logistic 回归的关系
当类别数 
时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 时，softmax 回归的假设函数为：
利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 ，并且从两个参数向量中都减去向量 ，得到:
因此，用 
来表示
，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 
，另一个类别概率的为 
，这与 logistic回归是一致的。
input_data代码
# Copyright 2015 The TensorFlow Authors. All Rights Reserved. # # Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License"); # you may not use this file except in compliance with the License. # You may obtain a copy of the License at # # http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0 # # Unless required by applicable law or agreed to in writing, software # distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS, # WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied. # See the License for the specific language governing permissions and # limitations under the License. # ============================================================================== """Functions for downloading and reading MNIST data.""" from __future__ import absolute_import from __future__ import division from __future__ import print_function import gzip import os import tempfile import numpy from six.moves import urllib from six.moves import xrange # pylint: disable=redefined-builtin import tensorflow as tf from tensorflow.contrib.learn.python.learn.datasets.mnist import read_data_sets
TensorFlow代码：
# coding:utf-8
import input_data
import tensorflow as tf
mnist = input_data.read_data_sets("Image/", one_hot=True)
x=tf.placeholder(tf.float32,[None,784]) #创建存储样本的表
W=tf.Variable(tf.zeros([784,10])) #创建变换矩阵W
b=tf.Variable(tf.zeros([10])) #创建偏置常量b
#学习的是W与b
y=tf.nn.softmax(tf.matmul(x,W)+b)#设置好模型放入softmax回归函数中
y_=tf.placeholder("float",[None,10])#用于存储真是的数据标签
#利用交叉熵作为coastFunction
cross_entropy=-tf.reduce_sum(y_*tf.log(y))
#利用梯度下降方法最小化coastFunction
train_step=tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(cross_entropy)
#初始化所有变量
init=tf.global_variables_initializer()
sess=tf.Session()
sess.run(init)
for i in range(1000):
#每次随机抓取100个数据点进行训练
bach_xs,bach_ys=mnist.train.next_batch(100)
sess.run(train_step,feed_dict={x:bach_xs,y_:bach_ys})
#训练结束
#计算精度
#tf.equal 该函数计算矩阵对应元素相等 返回对比结果返回布尔值 argmax返回最大值的索引
correct_prediction=tf.equal(tf.argmax(y,1),tf.argmax(y_,1))
#tf.cast把布尔转化为float
accuracy=tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction,"float"))
#输出结果
print sess.run(accuracy,feed_dict={x:mnist.test.images,y_:mnist.test.labels})