几种特殊的图：
二分图：
定义：对于G，存在点集V1、V2满足V1∩V2 = ∅，V1∪V2 = V，并对于任意边eij，有vi、vj分别属于V1、V2，则称这样的图是二分图，也叫二部图、偶图、双图。这里需要注意的是，我们这里约定n阶零图(不含边的图)也是二分图。(并且这里我们主要讨论无向二分图)
定理：无向图G=<V,E>是二分图当且仅当G中无奇数长度的回路。
必要性：根据二分图的定义，能够看到对于路径Γ，当起点vi和vj同属于V1的时候，则必然经过了偶数条边，而回路显然满足这种情况。
充分性：设V1 = {v| v∈V ^ d(v0,v)是偶数}，V2 ={v|v∈V(G) ^ d(v0,v)是奇数}，那么只需证V1和V2中任何两点不相邻即可，由其存在对称性我们证一个即可。
考虑反证法，假设V1中的vi、vj连通，根据上面我们的定义，路径<v0,vi>Γ1,<v0,vj>Γ2的短程线之和d<v0,vi>+d<v0,vj>必然是偶数。那么现在考察vi和vj的连接方式，如果直接相连，显然v0所在回路的长度是奇数，矛盾；如果是间接相连，那么这与我们一开始对V1、V2的定义不符，证毕。
匹配、极大匹配、最大匹配、完备匹配、完美匹配：
对于二部图G<V,E>,E的子集E’满足任意ei、ej∈E’，ei、ej不相邻，则称E’是G的一个匹配。
基于某个匹配，如果添加任意边都会使得这个图不再是一个匹配，则原匹配称为极大匹配。
而对于|E’’| = max{|E’| | E’是G的匹配}，则称E’’是G上的最大匹配。
再设|V1| ≤|V2|,|E’| = |V1|，则该匹配是一个完备匹配。
基于完备匹配，如果|V1| = |V2|,则称其为完美匹配。
判断二分图是否存在完备匹配的hall定理和t条件定理：
定理1：在二分图G中，设|V1| ≤|V2|，则G存在完备匹配的充要条件是，V1中任意k个顶点至少与V2中k个顶点相邻。
关于它的证明这里暂且折叠。
定理2：基于定理1中的条件，如果存在整数t，使得V1中每个顶点至少关联t条边，而V2中至多关联t2条边，则G存在完备匹配。
证明：基于条件，V1中k个顶点关联V2至少kt条边，而V2中每个顶点至多关联t条边，这表明V1中k个顶点至少要关联V2中k个顶点，这就回到了定理1。
欧拉图：
所谓欧拉图，和我们所熟知的益智游戏“一笔画”是有关的。
欧拉通路：对于G图，如果存在一条路径能够不重复地遍历所有的边则称其为欧拉通路。
欧拉回路：如果欧拉通路是一条回路，那么称其为欧拉回路，并且称存在欧拉回路的图为欧拉图。
欧拉通路/回路在无向图中的判断：
对于无向图G，如果所有顶点的度数都是偶数，则其存在欧拉回路。
对于无向图G，如果有且仅有两个奇度数顶点，则其存在欧拉通路。
欧拉通路、回路在有向图中的判断：
对于有向图G，如果所有顶点的入度等于出度，则存在欧拉回路。
对于有向图G，如果除去两个顶点外，其他顶点满足入度等于出度，并且这两个顶点刚好一个入度比出度大1，一个出度比入度大1，则其存在欧拉通路。