主定理

参考博客如标题

自己的傻b理解

对于我这种应付考试的人，可以直接代入几个特殊值...
只需要知道：
符号\(O\)，读音殴，表示上界，小于等于，贴紧未知。
找好特殊值
对于简单的（如：O(n), 又如下面的例题3），自己推就行

博客原文如下

先介绍几个符号的含义。

符号\(Θ\)，读音西塔，既是上界也是下界，等于，严格贴紧。

符号\(O\)，读音殴，表示上界，小于等于，贴紧未知。

符号\(o\)，读音也是殴，小于，不贴紧。

符号\(Ω\)，读音偶眯嘎，表示下界，大于等于，贴紧未知。

符号\(ω\)，读音也是偶眯嘎，表示下界，大于，不贴紧。

上面的“贴紧”是我根据tight翻译过来的(不是很准确啊)，大概就是是否严格等于的意思吧。

意思就是\(Θ\)是平均时间复杂度，\(O\)是最坏情况下的复杂度，\(Ω\)是最好情况下的复杂度。

假设我们有递推关系式：
\(T(n)=aT(n/b)+f(n)\)

其中，\(n\)为问题的规模、\(a\)为递推下子问题的数量，\(n/b\)为每个子问题的规模，\(f(n)\)为递推后做的额外的计算工作。

1.假设存在常数?>0 ，使得\(f(n)=O(n^{logb(a)??})\)，则\(T(n)=Θ(n^{logba})\)。

具体意思是f(n)的上界是n的幂次，且\(logb(a)\)比这个幂次要大，则时间复杂度为这个n的\(logb(a)\)次。

例子：二叉树的遍历。\(T(n)=2T(n/2)+Θ(1)\)。其中\(a=2，b=2f(n)=1\)，此时?=1。

\(T(n)=Θ(n)\)。

2.假设存在常数\(k≥0\)，使得\(f(n)=Θ(n^{logba}log^kn)\)，则\(T(n)=Θ(n^{logba} log^{k+1}n)\)。

具体意思是f(n)是n的\(logb(a)\)次，再乘以一个\(log\)，则复杂度是\(f(n)\)的复杂度再乘以一个\(log\)。

例子：归并排序。\(T(n)=2T(n2)+Θ(n)\)。其中\(a=2，b=2，f(n)=n\)，此时k=0。

\(T(n)=Θ(nlog2n)\)。

例子：二分搜索（折半搜索）。\(T(n)=T(n2)+Θ(1)\)，其中\(a=1，b=2，f(n)=1\)，此时k=0，则

\(T(n)=Θ(log2n)\)。

3.假设存在常数?>0，有\(f(n)=Ω(nlogb(a)+?)\)，同时存在常数\(c<1\)以及充分大的n满足$ af(n/b)≤cf(n)$那么 \(T(n)=Θ(f(n))\)。

这个感觉没啥用啊。。。

【例题】

1【NOIP2017初赛】若某算法的计算时间表示为递推关系式：

\(T(N)=2T(N/2)+NlogN，T(1)=1\)，则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。

A.\(O(N)\) B.\(O(NlogN)\) C.\(O(NlogN)\) D.\(O(N^2)\)

【解析】套用情况2中的\(k=1\)的情况，则\(T(n)=Θ(NlogN)\)，选C

2【NOIP2016初赛】若某算法的计算时间表示为递推关系式：

\(T(N)=2T(N4)+N??√，T(1)=1\)，则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。

A.\(O(N)\) B.\(O(√N)\) C.\(O(√N log2N)\) D.\(O(N^2)\)?

【解析】套用情况2中的k=0的情况，则$T(n)=Θ(sqrt(N)log2 N) $，选C

3【NOIP2015初赛】某算法的计算时间表示为递推关系式：

\(T(N)=T(N?1)+N\) ，T(0)=1 。则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。

A.\(O(log22N)\) B.\(O(Nlog2N)\) C.\(O(N)\) D.\(O(N^2)\)

【解析】难道这个就要用主定理了？容易推导出\(T(N)=T(0)+1+...+n=1+N?(N+1)2\) ，则时间复杂度为$O(N^2) $，选D

【总结】

NOIP初赛考察了3年的时间复杂度分析，其中两年用到了主定理。其实你不会主定理也没事儿，只要能找几个特殊值带入，并根据符号O的意义排除选项即可。

原文地址：https://www.cnblogs.com/tyner/p/11568452.html