P4213 【模板】杜教筛

题面:https://www.luogu.org/problem/P4213

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
const int mod=1000000007,N=5000005;
long long phi[N];
int t,prime[N],cnt,mobius[N];
bool vis[N];
unordered_map<int,int>ans_mobius;
unordered_map<int,long long> ans_phi;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-'){
            f=-1;
            c=getchar();
        }
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=x*10+c-48;
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline long long get_phi(long long x){
    if(x<=N){
        return phi[x];
    }
    if(ans_phi[x]){
        return ans_phi[x];
    }
    long long ans=((1+x)*x)/2;
    for(register int l=2,r;l<=x;l=r+1){
        r=x/(x/l);
        ans-=(r-l+1)*get_phi(x/l);
    }
    return ans_phi[x]=ans;
}
inline int get_mobius(int x){
    if(x<=N){
        return mobius[x];
    }
    if(ans_mobius[x]){
        return ans_mobius[x];
    }
    int ans=1;
    for(register int l=2,r;l<=x;l=r+1){
        r=x/(x/l);
        ans-=(r-l+1)*get_mobius(x/l);
    }
    return ans_mobius[x]=ans;
}
int main(){
    mobius[1]=phi[1]=1;
    for(register int i=2;i<=N;++i){
        if(!vis[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mobius[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(register int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;++j){
            vis[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[prime[j]]*phi[i];
            mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
        }
    }
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        mobius[i]+=mobius[i-1];
        phi[i]+=phi[i-1];
    }
    int x;
    t=read();
    while(t--){
        x=read();
        printf("%lld %d\n",get_phi(x),get_mobius(x));
    }
    return 0;
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/ukcxrtjr/p/11311269.html

时间: 2024-10-28 15:08:21

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luoguP4213 [模板]杜教筛

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4213 同 bzoj3944 考虑用杜教筛求出莫比乌斯函数前缀和,第二问随便过,第一问用莫比乌斯反演来做,中间的整除分块里的莫比乌斯前缀和刚好用第二问来做 杜教筛的时候先线性筛出前 N 个数的莫比乌斯函数前缀和,其余的用 map 记忆化搜索,实测 N 取 3670000 最佳(其实我只测了3次) #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef unsign

洛谷P4213 Sum(杜教筛)

题目描述 给定一个正整数N(N\le2^{31}-1)N(N≤231−1) 求ans_1=\sum_{i=1}^n\phi(i),ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)ans1?=∑i=1n??(i),ans2?=∑i=1n?μ(i) 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2

[模板]杜教筛

用途 比线性更快($O(n^{\frac{2}{3}})$)地求积性函数的前缀和 前置知识:狄利克雷卷积 形如$h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$,则称$h(n)=f(x)*g(x)$ 如果f和g都是积性函数,则卷出的h也是积性函数 可以证明,狄利克雷卷积满足交换律.结合律.分配律 比较重要的卷积式子(抄的..): $$\mu*1=\varepsilon , \varepsilon(n)=[n=1]$$ $$\varphi*1=id , id(n)

P4213 【模板】杜教筛(Sum)

\(\color{#0066ff}{题 目 描 述}\) 给定一个正整数\(N(N\le2^{31}-1)\) 求 \(\begin{aligned} ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i) \end{aligned}\) \(\begin{aligned} ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i) \end{aligned}\) \(\color{#0066ff}{输 入 格 式}\) 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N

P4213【模板】杜教筛(Sum)

思路:杜教筛 提交:\(2\)次 错因:\(\varphi(i)\)的前缀和用\(int\)存的 题解: 对于一类筛积性函数前缀和的问题,杜教筛可以以低于线性的时间复杂度来解决问题. 先要构造\(h=f*g\),并且\(h\)的前缀和易求,\(g\)的区间和易求. 具体地: \[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)\cdot f(\frac{i}{d})\] \[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{d=1}^{n}g(d)\

【模板】杜教筛(Sum)

传送门 Description 给定一个正整数\(N(N\le2^{31}-1)\) 求 \[ans1=\sum_{i=1}^n \varphi(i)\] \[ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)\] Solution 总算是写了一个不会\(TLE\)的杜教筛,不想用\(map\),因此上了一个很丑的\(Hash\)-- Code #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define max(a,b) ((a)>(b)?(

[模板][P3377]杜教筛

Description: 求 $ \sum_{i=1}^n \phi(i) ,\sum_{i=1}^n \mu(i)$ Hint: \(n<=10^{10}?\) Solution: 考虑积性函数 \(f,g,h?\) 及其前缀和 \(F,G,H?\) 其中 \(h=f*g?\) 首先 \(H(x)=\sum_{n=1}^xh(n)\) \(=\sum_{n=1}^x \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})\) 枚举倍数转枚举因数 \(=\sum_{k=1}^x \sum_

CCPC 2019 网络赛 HDU huntian oy (杜教筛)

1005 huntian oy (HDU 6706) 题意: 令,有T次询问,求 f(n, a, b). 其中 T = 10^4,1 <= n,a,b <= 1e9,保证每次 a,b互质. 思路: 首先我们需要知道 公式: gcd(a^n - b^n, a^m - b^m) = a^(gcd(m,n)) - b^(gcd(m,n)) 由a,b互质,原式即为 f(n, a, b) = ∑∑ (i-j)*[(i,j)=1] = ∑ (i*∑ [(i, j)=1] ) - ∑∑ j*[(i, j)=

【数论】狄利克雷卷积及其快速计算方法及杜教筛

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【bzoj 4176】 Lucas的数论 莫比乌斯反演(杜教筛)

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2 Sample Output 8 HINT 对于100%的数据n <= 10^9. 题解: 解锁新技能:杜教筛. 再复习一下: 若$F(n)=\s