题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc129/tasks/abc129_f
题目大意
给定一个长度为 L ，首项为 A，公差为 B 的等差数列 S，将这 L 个数拼起来，记作 N，求 N % M。
分析
设 bit(i) 为第 i 项所需要进行的十进制位移。
则 $N = S_0 * 10^{bit(0)} + S_1 * 10^{bit(1)} + \dots + S_{L - 1} * 10^{bit(L - 1)}$。
一项一项地算是肯定要超时的，不过注意到等差数列的每一项都小于 1018 ，因此很多项的长度是相等的，也就是说有很多 bit(i) 也是等差数列。
于是我们可以按照位数给等差数列分组，最多可分 18 组。
举个例子，在区间 [L, R] 上，每一项长度都为 k。
记这个区间上所表示的数为 A(k)，A(k) 的每一项设为 $a_i, (L \leq i \leq R)$，则 $a_i = S_i * 10^{bit(i)}, A(k) = \sum_{i = L}^{R} a_i$。
不难看出$A(k) = 10^{bit(L)} * \sum_{i = L}^{R} (S_i * 10^{(R - i) * k})$，只要处理后一部分即可。
设 $ret(j) = \sum_{i = L}^{j} (S_i * 10^{(j - i) * k}), (L \leq j \leq R)$。
则有 $ret(j + 1) = ret(j) * 10^k + S_{j + 1}$，不妨设 ret(L - 1) = 0。
于是我们可以构造如下系数矩阵 X：
$$
X = \begin{bmatrix}
10^k & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & B & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
和如下矩阵 RET(j)：
$$
RET(j) = \begin{bmatrix}
ret(j) & S_{j + 1} & 1
\end{bmatrix}
$$
于是有：
$$
RET(j) = RET(j - 1) * X \\
RET(j) = RET(L - 1) * X^{j - L + 1}
$$
如此，通过矩阵快速幂，长度为 k 的一组值很快就被算出来了，然后每一组都分别算一下再加起来即可。
PS：在实际实现过程中组与组之间是可以合并的，并不需要单独算出来每一组的余数，详细实现请看代码。
代码如下
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
5 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
6 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
7 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
8 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
9 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
10 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
11 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
12
13 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << " "
14 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
15
16 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
17
18 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
19 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
20 #define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
21 #define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // 删去 x 中所有 c
22 #define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
23 #define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper);
24
25 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
26 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
27 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))
28
29 #define MP make_pair
30 #define PB push_back
31 #define ft first
32 #define sd second
33
34 template<typename T1, typename T2>
35 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
36 in >> p.first >> p.second;
37 return in;
38 }
39
40 template<typename T>
41 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
42 for (auto &x: v)
43 in >> x;
44 return in;
45 }
46
47 template<typename T1, typename T2>
48 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
49 out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
50 return out;
51 }
52
53 inline int gc(){
54 static const int BUF = 1e7;
55 static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
56
57 if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
58 return *bg++;
59 }
60
61 inline int ri(){
62 int x = 0, f = 1, c = gc();
63 for(; c<48||c>57; f = c==‘-‘?-1:f, c=gc());
64 for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
65 return x*f;
66 }
67
68 template<class T>
69 inline string toString(T x) {
70 ostringstream sout;
71 sout << x;
72 return sout.str();
73 }
74
75 inline int toInt(string s) {
76 int v;
77 istringstream sin(s);
78 sin >> v;
79 return v;
80 }
81
82 //min <= aim <= max
83 template<typename T>
84 inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
85 return min <= aim && aim <= max;
86 }
87
88 typedef long long LL;
89 typedef unsigned long long uLL;
90 typedef pair< double, double > PDD;
91 typedef pair< int, int > PII;
92 typedef pair< int, PII > PIPII;
93 typedef pair< string, int > PSI;
94 typedef pair< int, PSI > PIPSI;
95 typedef set< int > SI;
96 typedef set< PII > SPII;
97 typedef vector< int > VI;
98 typedef vector< double > VD;
99 typedef vector< VI > VVI;
100 typedef vector< SI > VSI;
101 typedef vector< PII > VPII;
102 typedef map< int, int > MII;
103 typedef map< int, string > MIS;
104 typedef map< int, PII > MIPII;
105 typedef map< PII, int > MPIII;
106 typedef map< string, int > MSI;
107 typedef map< string, string > MSS;
108 typedef map< PII, string > MPIIS;
109 typedef map< PII, PII > MPIIPII;
110 typedef multimap< int, int > MMII;
111 typedef multimap< string, int > MMSI;
112 //typedef unordered_map< int, int > uMII;
113 typedef pair< LL, LL > PLL;
114 typedef vector< LL > VL;
115 typedef vector< VL > VVL;
116 typedef priority_queue< int > PQIMax;
117 typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
118 const double EPS = 1e-8;
119 const LL inf = 0x7fffffff;
120 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
121 LL mod = 1e9 + 7;
122 const int maxN = 1e5 + 7;
123 const LL ONE = 1;
124 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
125 const LL oddBits = 0x5555555555555555;
126
127 struct Matrix{
128 int row, col;
129 LL MOD;
130 VVL mat;
131
132 Matrix(int r, int c, LL p = mod) : row(r), col(c), MOD(p) {
133 mat.assign(r, VL(c, 0));
134 }
135 Matrix(const Matrix &x, LL p = mod) : MOD(p){
136 mat = x.mat;
137 row = x.row;
138 col = x.col;
139 }
140 Matrix(const VVL &A, LL p = mod) : MOD(p){
141 mat = A;
142 row = A.size();
143 col = A[0].size();
144 }
145
146 // x * 单位阵
147 inline void E(int x = 1) {
148 assert(row == col);
149 Rep(i, row) mat[i][i] = x;
150 }
151
152 inline VL& operator[] (int x) {
153 assert(x >= 0 && x < row);
154 return mat[x];
155 }
156
157 inline Matrix operator= (const VVL &x) {
158 row = x.size();
159 col = x[0].size();
160 mat = x;
161 return *this;
162 }
163
164 inline Matrix operator+ (const Matrix &x) {
165 assert(row == x.row && col == x.col);
166 Matrix ret(row, col);
167 Rep(i, row) {
168 Rep(j, col) {
169 ret.mat[i][j] = mat[i][j] + x.mat[i][j];
170 ret.mat[i][j] %= MOD;
171 }
172 }
173 return ret;
174 }
175
176 inline Matrix operator* (const Matrix &x) {
177 assert(col == x.row);
178 Matrix ret(row, x.col);
179 Rep(k, x.col) {
180 Rep(i, row) {
181 if(mat[i][k] == 0) continue;
182 Rep(j, x.col) {
183 ret.mat[i][j] += mat[i][k] * x.mat[k][j];
184 ret.mat[i][j] %= MOD;
185 }
186 }
187 }
188 return ret;
189 }
190
191 inline Matrix operator*= (const Matrix &x) { return *this = *this * x; }
192 inline Matrix operator+= (const Matrix &x) { return *this = *this + x; }
193
194 inline void print() {
195 Rep(i, row) {
196 Rep(j, col) {
197 cout << mat[i][j] << " ";
198 }
199 cout << endl;
200 }
201 }
202 };
203
204 // 矩阵快速幂，计算x^y
205 inline Matrix mat_pow_mod(Matrix x, LL y) {
206 Matrix ret(x.row, x.col);
207 ret.E();
208 while(y){
209 if(y & 1) ret *= x;
210 x *= x;
211 y >>= 1;
212 }
213 return ret;
214 }
215
216 LL L, A, B, M, ans;
217
218 // 从数列第 st 项开始，查找区间 [L, R]，使得区间内的所有数都小于 bit 大于等于 bit/10。
219 // 有返回 true 没有返回 false
220 LL st = 0, bit = 10, l, r;
221 bool getLR() {
222 if(st >= L || A + st * B >= bit) return false;
223 l = st;
224 r = L - 1;
225
226 while(l < r) {
227 LL mid = (l + r) >> 1;
228 if(A + mid * B < bit) l = mid + 1;
229 else r = mid;
230 }
231
232 if(A + r * B >= bit) --r;
233 l = st;
234 st = r + 1; // 下一个起始位置
235 return true;
236 }
237
238 int main(){
239 //freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
240 //freopen("input.txt","r",stdin);
241 INIT();
242 cin >> L >> A >> B >> mod;
243
244 For(i, 1, 18) { // 枚举位数
245 if(getLR()) {
246 Matrix mat(3, 3);
247 mat[0][0] = bit % mod;
248 mat[0][1] = mat[0][2] = mat[1][2] = mat[2][1] = 0;
249 mat[1][0] = mat[1][1] = mat[2][2] = 1;
250 mat[2][1] = B % mod;
251
252 mat = mat_pow_mod(mat, r - l + 1);
253
254 Matrix ret(1, 3);
255 ret[0][0] = ans;
256 ret[0][1] = (A + l * B) % mod;
257 ret[0][2] = 1;
258
259 ret *= mat;
260
261 ans = ret[0][0];
262 }
263 bit *= 10;
264 }
265 cout << ans << endl;
266 return 0;
267 }
AtCoder ABC 129F Takahashi's Basics in Education and Learning
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时间： 2024-10-08 11:07:18