NEFU118 n!后面有多少个0【算术基本定理】

题目链接：

http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=118

题目大意：

问：计算N！末尾0的个数。(1 <= N <= 1000000000)。

思路：

N是100000000规模的数，直接计算结果，再统计0的个数显然不科学。将末尾0分解为2*5。

每一个0必然和一个因子5对应，但是一个数的因式分解中一个因子5不一定对应一个0。因为

还需要一个因子2，才能实现一一对应。

对于N!，在因式分解中，因子2的个数明显大于因子5的个数。所以如果存在一个因子5，那么

必然对应着N!末尾的一个0。这道题就变为了求N!中因子5的个数。由算术基本定理的性质(5)

可知：N!在素因子分解中素数p的幂为[N/p] + [N/p^2] + [N/p^3] + …，可以直接循环计算。

此时，5的幂就是N!中因子5的个数，也就是N!末尾0的个数。

附算术基本定理的定义和性质：

定理：

每个大于1的正整数N都可以被唯一地写成素数的乘积，在乘积中的素因子按照非降序排列。

正整数N的分解式 N = p1^α1 * p2^α2 * p3^α3 * … * pk^αk 称为N的标准分解式，其中

p1，p2，…，pk是素数，p1 < p2 < p3 < … < pk，且α1，α2，α3，…，αk是正整数。

性质：

(1)若N的标准素因子分解表达式为：N = p1^α1 * p2^α2 * p3^α3 * … * pk^αk，设d(N)

为N的挣银子个数， Φ(N)为N的所有因子之和，则有

d(N) = (α1 + 1) * (α2 + 1)
* (α3 + 1) * … * (αk + 1)

Φ(N) = ( p1^(α1
+ 1) )/(p1 - 1) * ( p2^(α2 + 1) )/(p2
- 1) * … * ( pk^(αk + 1) )/(pk - 1)

(2)设a =
p1^α1 * p2^α2 * … * pk^αk，b = p1^ β1
* p2^β2 * … * pk^βk，则有

gcd(a，b) = p1^min(α1，β1) * p2^min(α2，β2)
* … * pk^min(αk，βk)

lcm(a，b) = p1^max(α1，β1)
* p2^max(α2，β2)
* … * pk^max(αk，βk)

(3)如果a和b为实数，则

max( gcd(a，b) ) + min( gcd(a，b) ) = a + b

(4)如果a和b是正整数，则

lcm(a，b) = a*b/gcd(a，b)

(5)N!的素因子分解中的素数p的幂为

[N/p] + [N/p^2] + [N/p^3] + …

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int main()
{
    int T,N;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        cin >> N;
        int t,five,sum;
        t = N;
        five = 5;
        sum = 0;
        while(five <= t)
        {
            sum = sum + t/five;
            five *= 5;
        }
        cout << sum << endl;
    }

    return 0;
}