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构造一个随机发生器

2014-10-23阅读83 评论0

2.已知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，
现在要你构造一个发生器，
使得它构造0和1的概率均为 1/2；
构造一个发生器，使得它构造1、2、3 的概率均为 1/3； ...，
构造一个发生器，使得它构造 1、2、3、...n 的概率均为1/n，要求复杂度最低。

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2.已知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，
现在要你构造一个发生器，
使得它构造0和1的概率均为 1/2；
构造一个发生器，使得它构造1、2、3 的概率均为 1/3； ...，
构造一个发生器，使得它构造 1、2、3、...n 的概率均为1/n，要求复杂度最低。

思路：
由于需要产生1/2，而用1位0，或1位1无法产生等概率，
因此，考虑将随机数扩展成2位：
00   p*p
01  p*(1-p)
10  (1-p)*p
11 (1-p)*(1-p)
有上述分析知道，01和10是等概率的，因此我们只需要产生01和10就行了。
于是可以，遇到00和11就丢弃，只记录01和10。可以令，01表示0,10表示1，则等概率1/2产生0和1了。

对于n=2，一次性生成两个数字，认为01表示0，10表示1，
其它情况放弃，它们的概率都是p*(1-p)；

对于n=3，一次性生成三个数字，认为001表示0，010表示1，100表示2，
其它情况放弃，它们的概率都是p*p*(1-p)；

对于n=4，一次性生成是个数字，认为0001表示0，0010表示1，0100表示2，1000表示3，
其它情况放弃，它们的概率都是p*p*p*(1-p)；

5为例，此时我们取x=2，因为C(2x,x)=C(4,2)=6是比5大的最小的x，
此时我们就是一次性生成4位二进制，把1出现个数不是2的都丢弃，
这时候剩下六个:0011,0101,0110,1001,1010,1100，
取最小的5个，即丢弃1100，那么我们对于前5个分别编号1到5，
这时候他们的概率都是p*p*(1-p)*(1-p)相等了。
关键是找那个最小的x，使得C(2x,x)>=n这样能提升查找效率。

因为C(n,i)最大是在i接近n/2的地方取得，此时我有更大比率的序列用于生成，
换句话说被抛掉的更少了，这样做是为了避免大量生成了丢弃序列而使得生成速率减慢，
实际上我之所以将x取定是为了让我取得的序列生成的概率互相相等，
比如C(2x,x)的概率就是[p(1-p)]^x，
互等的样例空间内保证了对应的每个值取得的样例等概率。

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