第三版《算法导论》中的15.3-6关于动态规划新增题解

题目：

15.3-6假定你希望兑换外汇，你意识到与其直接兑换，不如进行多种外币的一系列兑换，最后兑换到你想要的那种外币，可能会获得更大收益。假定你可以交易n种不同的货币，编号为1,2.....n，兑换从1号货币开始，最终兑换为n号货币。对每两种货币i和j给定汇率rij,意味着你如果有d个单位的货币i,可以兑换dr0个单位的货币j.进行一系列的交易需要支付一定的佣金，金额取决于交易次数。令ck表示k次交易需要支付的佣金。证明：如果对所有k=1,2...n,ck=0,那么寻找最优兑换序列的问题具有最优子结构性质。然后请证明：如果佣金ck为任意值，那么问题不一定具有最优子结构性质。

题目虽然没有要求写出算法，但我也给出算法。

//15.3-6多次兑换货币换取最大收益
#include <iostream>
using namespace std;
#define n 4
struct Currency_Exchange
{
	double **r;//储存汇率
	int *s;//储存外汇最佳方式的变量
	Currency_Exchange()
	{
		r=new double *[n];
		for (int i=0;i<n;i++)
		{
			r[i]=new double[n];
		}
		s=new int [n];
	}
};
struct Best_Currency_Exchange
{
	static double Max;//最大收益
	static double Min;//最小收益
	int *t;
	static int end;
	Best_Currency_Exchange()
	{
        t=new int[n];
	}
};
double Best_Currency_Exchange::Max=-0x7fffffff;
double Best_Currency_Exchange::Min=0x7fffffff;
int Best_Currency_Exchange::end=0x7fffffff;
void init(Currency_Exchange T,Best_Currency_Exchange Result)//结构体的初始化
{
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		for (int j=0;j<n;j++)
		{
			T.r[i][j]=-0x7fffffff;
		}
		T.s[i]=-0x7fffffff;
		Result.t[i]=-0x7fffffff;
	}
	Result.end=-1;
}
inline void swap(int* array, unsigned int i, unsigned int j)
{
    int t = array[i];
    array[i] = array[j];
    array[j] = t;
}
void Print(int i)
{
	switch (i)
	{
	case 0:cout<<"欧元(EUR-1)-->";
		break;
	case 1:cout<<"坡元(SGD-2)-->";
		break;
	case 2:cout<<"加元(CAD-4)-->";
		break;
    case 3:cout<<"澳元(AUD-3)-->";
		break;
	case 4:cout<<"日元(JPY)-->";
		break;
	case 5:cout<<"台币(CHF)-->";
		break;
	case 6:cout<<"英镑(GBP)-->";
		break;
	default: cout<<"超出范围，输入错误！"<<endl;
		break;
	}
}
Best_Currency_Exchange  FullArray(int* array, size_t array_size, unsigned int index,Currency_Exchange T,Best_Currency_Exchange Result)
{
	static int k=0;
	if(index>=0)
    {
		k++;
		int j=0;
		cout<<"k="<<k<<":";
		double m=1.0;
		if (index>=1)
		{
			m*=T.r[0][array[0]];
		    T.s[0]=0;
			for(unsigned int i = 0; i < index; ++i)
			{
			//	cout <<array[i] << ' ';
				Print(array[i]);cout<<' ';
				T.s[i+1]=array[i];
				if (i==index-1)
				{
					m*=T.r[array[i]][n-1];
				}
				else m*=T.r[array[i]][array[i+1]];
			}
			if(i<n-1)
			{
               T.s[i+1]=n-1;
			}
			i++;
			j=i;
		}
		else if(index==0)
		{
			m=T.r[0][n-1];
			T.s[j++]=0;
			T.s[j++]=n-1;
		}
		cout<<"m="<<m;
		if (Result.Max<m)
		{
			Result.Max=m;
			Result.end=j;
			for (int q=0;q<=Result.end;q++)
			{
				Result.t[q]=T.s[q];
			}
		}
		if (Result.Min>m)
		{
			Result.Min=m;
		}
        cout << '\n';
    }
    if (index==array_size)
    {
		return  Result;
    }
    for(unsigned int i = index; i < array_size; ++i)
    {
        swap(array, i, index);  

        FullArray(array, array_size, index + 1,T,Result);  

        swap(array, i, index);
    }
	return  Result;
}
void main()
{
    Currency_Exchange T;
	Best_Currency_Exchange Result;
	init(T,Result);//结构体的初始化
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		for (int j=0;j<n;j++)
		{
			cout<<"请输入";
			Print(i);
			cout<<"-->";
			Print(j);
			cin>>T.r[i][j];
			cout<<endl;
		}
	}
	int array[n-2]={1,2};
	Best_Currency_Exchange Result1=FullArray(array, n-2,0, T,Result);
	cout<<"最佳兑换方式：";
	for (int k=0;k<=Result1.end;k++)
	{
		if (Result1.t[k]>-0x7fffffff)
		{
			Print(Result1.t[k]);
		}
	}
	cout<<endl;
	cout<<"最大收益为：";
    cout<<Result1.Max<<endl;
	cout<<"最小收益为：";
	cout<<Result1.Min<<endl;
	cout<<"两者差值为："<<endl;
	cout<<Result1.Max-Result1.Min<<endl;
}

数据实例图：

不加额外手续费的结果图：

如果算上额外任意手续费就会如下图：

总结：

故手续费为0时，可以用最优子结构，手续费任意时就不能用了。



第三版《算法导论》中的15.3-6关于动态规划新增题解