欧几里德扩展方程 详解

作用：

欧几里德扩展方程是用来求解二元一次线性方程的。ax+by=c

（a、b、c为已知数）

对于给定方程：

ax+by=c，令g=gcd(a,b)

因为a是g的倍数，b也是g的倍数，所以令a=m*g , b=n*g，则：

ax+by=g(m*x+n*y)=c

所得的结果c必然是g的倍数。

当且仅当mx+ny=1时，右边有最小值。而此时mn必定是互质的。

所以我们经常求的最小整数解就是求方程ax+by=gcd(a,b)的解。

解方程步骤：

对于方程

ax+by=gcd(a,b)

由欧几里德算法

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

分别用b和a%b去替换ab，则可以得到一对新的解：x’和y’

bx’+(a%b)y’=gcd(b,a%b)

因为两式右边都相等，所以我们让两式左边相等

ax+by=bx’+(a%b)y’

假设我们的a/b=k余a%b，则a%b=a-kb，那么上式可变为

ax+by=bx’+ay’-kby’

我们让对应项系数相等

x=y’

y=x’+ky’

这里我们可以发现，后一次的结果是由前一次结果决定的

一直化简下去会发现，方程会变成一个特解：

即x=1，y=0的情况。

最后我们再反过来求得最后的xy即可。

代码实现：

//ax+by=gcd(a,b)=c
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-y*(a/b);
}

因为x，y加了引用，所以最后xy的值会在递归后改变，就求得了最后的答案。

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