BZOJ 2118 墨墨的等式(最短路)

很开拓眼界的题。。

题意:给出一个n元一次方程形如a1*x1+a2*x2...+an*xn=B，求满足解集为非负整数的B值在[L,R]范围内的种数。(n<=12,ai<=5e5,L<=R<=1e12)

如果要求解集可以为负数，那么根据扩展欧几里得即可快速得到答案。

现在的问题更像一个多重背包，但是L和R太大。

首先可以把答案差分，变成求[0,R]和[0,L-1]。

我们可以这样来考虑，如果我们找到B的一个任意解m，那么m+x1,m+2*x1,,,m+k*x1..这些显然也是解。

而如果我们能找到B在模x1意义下所有的最小非负解，那么只需要把这些解加上若干个x1即可求得答案。

现在我们的问题就变成了求一个B%x1=k的最小非负解。我们令g[i]表示B%x1=i的最小整数解。

这是个最短路问题，首先有起点g[0]=0,而边就是加上的数字，比如加上一个x2，这就是一条0到x2%x1的边权为x2的边。

这样跑一遍最短路，就求出了模x1意义下的最小非负解了。

由于点的数量和x1有关，于是我们可以选择最小的xi来建图。

# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <cstdlib>
# include <iostream>
# include <vector>
# include <queue>
# include <stack>
# include <map>
# include <bitset>
# include <set>
# include <cmath>
# include <algorithm>
using namespace std;
# define lowbit(x) ((x)&(-x))
# define pi acos(-1.0)
# define eps 1e-8
# define MOD 30031
# define INF (LL)1<<60
# define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
# define FOR(i,a,n) for(int i=a; i<=n; ++i)
# define FO(i,a,n) for(int i=a; i<n; ++i)
# define bug puts("H");
# define lch p<<1,l,mid
# define rch p<<1|1,mid+1,r
# define mp make_pair
# define pb push_back
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
# pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
typedef long long LL;
int Scan() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int N=500005;
//Code begin...

struct Edge{int p, next, w;}edge[N*12];
int head[N], cnt=1, a[N];
LL dist[N];
struct qnode{
    int v;
    LL c;
    qnode(int _v=0, LL _c=0):v(_v),c(_c){}
    bool operator<(const qnode &r)const{return c>r.c;}
};
bool vis[N];
priority_queue<qnode>que;
void add_edge(int u, int v, int w){
    edge[cnt].p=v; edge[cnt].w=w; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt++;
}
void Dijkstra(int n, int start){
    mem(vis,false);
    FO(i,0,n) dist[i]=INF;
    priority_queue<qnode>que;
    dist[start]=0; que.push(qnode(start,0)); qnode tmp;
    while (!que.empty()) {
        tmp=que.top(); que.pop();
        int u=tmp.v;
        if (vis[u]) continue;
        vis[u]=true;
        for (int i=head[u]; i; i=edge[i].next) {
            int v=edge[i].p, cost=edge[i].w;
            if (!vis[v]&&dist[v]>dist[u]+cost) dist[v]=dist[u]+cost, que.push(qnode(v,dist[v]));
        }
    }
}
int main ()
{
    int n;
    LL ans=0, L, R;
    scanf("%d%lld%lld",&n,&L,&R);
    FOR(i,1,n) scanf("%d",a+i);
    sort(a+1,a+n+1);
    int pos=0;
    FOR(i,1,n) if (a[i]) a[++pos]=a[i];
    if (pos==0) {puts("0"); return 0;}
    FO(i,0,a[1]) FOR(j,2,pos) {int x=i+a[j]; add_edge(i,x%a[1],x/a[1]);}
    Dijkstra(a[1],0);
    FO(i,0,a[1]) {
        LL x=dist[i]*a[1]+i;
        if (x<=R) ans+=(R-x)/a[1]+1;
        if (x<=L-1) ans-=(L-1-x)/a[1]+1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}