链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3162
题意：给出一棵无根树，求出本质不同独立集数目。
这道题真是一道好题……无限$orz$ $VFleaKing$……对着题解看了半天才看明白明明是你太蒻了……
好了不废话直接切入正题。首先我们需要找出一个方式使得所有的同构树形态都一样，怎么办呢，找到这个树的重心，以这个重心为根重新搞。
但是怎么搞出重心呢……首先，重心一定在整棵树最长的链上。那么我们先随意以一个点为起点广搜一次找到最远点，然后以这个点为起点再广搜一次，这两个最远的点就是树上最远点对。
然后我们就一点一点往回缩……缩到中点就是重心……但是可能有一个问题……就是这个中点可能在边上……这时候我们就需要接出一个虚拟节点做根……
然后，我们就要考虑求解了。如果说只求独立集数目那很简单树形$DP$即可……然而这个题目还有一个条件：同构树算同一种……因此我们还要判一下树同构……所以我们还需要判同构……于是我又现学了树$Hash$……
然后我们可以发现，本质不同的方案数就有$C(k,p+k-1)$种……
然后儿子列表就可以改变……变为同一结构出现了多少次……
于是我们可以把正常的独立集公式变一下：
（$f[]$表示选这个节点，$g[]$表示不选这个节点）
二次项系数直接$C(m,n)$就好了……
接下来分类讨论……有中点时，方案数为$f[root]+g[root]$……没有时，由于两个端点不能同时选中，所以还需要继续分类讨论……直接上代码吧……
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 #include<queue>
6 using namespace std;
7 const int maxn=500005,mod=(int)1e9+7,mod2=(int)1e9+9,inf=0x3f3f3f3f;
8 struct node
9 {
10 int to,next;
11 }edge[maxn<<1];
12 int head[maxn],tot=-1;
13 void addedge(int u,int v)
14 {
15 edge[++tot]=(node){v,head[u]};head[u]=tot;
16 }
17 int n,dis[maxn],from[maxn];
18 int q[maxn],h,t;
19 int bfs(int x)
20 {
21 static bool vis[maxn];fill(vis,vis+n+1,0);fill(dis,dis+n+1,inf);h=t=0;
22 vis[x]=1,dis[x]=0,q[++t]=x;
23 while(h<t)
24 {
25 int now=q[++h];
26 for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].next)
27 {
28 int v=edge[i].to;
29 if(!vis[v])dis[v]=dis[now]+1,q[++t]=v,vis[v]=1,from[v]=i;
30 }
31 }
32 for(int i=1;i<=n;i++)
33 if(dis[i]>dis[x])x=i;
34 return x;
35 }
36 inline long long qpow(long long x,int tim)
37 {
38 long long tmp=1;
39 for(;tim;tim>>=1,x=x*x%mod)
40 if(tim&1)tmp=tmp*x%mod;
41 return tmp;
42 }
43 long long inv[maxn];
44 void pre()
45 {
46 inv[1]=1;
47 for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(mod-inv[mod%i])*(mod/i)%mod;
48 }
49 inline long long C(long long x,long long y)
50 {
51 if(x<0)x+=mod;if(x>=mod)x-=mod;long long ans=1;
52 for(int i=1;i<=y;i++)ans=(ans*(x+1-i))%mod,ans=(ans*inv[i])%mod;
53 return ans;
54 }
55 int root,son[maxn],cp,size[maxn];long long Has[maxn];
56 inline bool cmp(int x,int y)
57 {
58 return Has[x]<Has[y];
59 }
60 inline void getson(int now)
61 {
62 cp=0;
63 for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].next)
64 {
65 int v=edge[i].to;
66 if(dis[v]==dis[now]+1)son[++cp]=v;
67 }
68 sort(son+1,son+cp+1,cmp);
69 }
70 long long Gethash(int now)
71 {
72 getson(now);long long ans=1;
73 for(int i=1;i<=cp;i++)ans=(ans+qpow(2,Has[son[i]]))%mod,ans=ans*Has[son[i]]%mod;
74 return ans;
75 }
76 void Pre()
77 {
78 for(int i=t;i>=1;i--)
79 {
80 int j=i;
81 while(i>1&&dis[q[i]]==dis[q[i-1]])i--;
82 for(int k=i;k<=j;k++)Has[q[k]]=Gethash(q[k]);
83 }
84 }
85 long long f[maxn],g[maxn];
86 void solve()
87 {
88 for(int i=t;i;i--)
89 {
90 int now=q[i];f[now]=g[now]=1;getson(now);size[now]=1;
91 for(int j=1;j<=cp;j++)size[now]+=size[son[j]];
92 for(int j=1;j<=cp;j++)
93 {
94 int k=j;
95 while(j<cp&&Has[son[j+1]]==Has[son[j]])j++;
96 f[now]=(f[now]*C(g[son[j]]+j-k,j-k+1))%mod,g[now]=(g[now]*C(f[son[j]]+g[son[j]]+j-k,j-k+1))%mod;
97 }
98 }
99 }
100 int haha()
101 {
102 scanf("%d",&n);memset(head,-1,sizeof(head));
103 for(int i=1;i<n;i++)
104 {
105 int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
106 addedge(x,y);addedge(y,x);
107 }
108 int x=bfs(1),y=bfs(x),l=dis[y],pos=y;
109 while(dis[pos]>((l>>1)+1))pos=edge[from[pos]^1].to;
110 int lpos;
111 if(l&1)
112 {
113 n++;
114 lpos=edge[from[pos]^1].to;edge[from[pos]].to=n;edge[from[pos]^1].to=n;addedge(n,pos);addedge(pos,n),addedge(n,lpos);addedge(lpos,n);
115 root=n;
116 }
117 else
118 {
119 if(n!=1)pos=edge[from[pos]^1].to;
120 root=pos;
121 }
122 bfs(root);pre();Pre();solve();
123 if(l&1)
124 {
125 long long ans=0;
126 if(Has[pos]==Has[lpos])ans=(ans+f[pos]*g[pos]%mod),ans=(ans+C(g[pos]+1,2));
127 else ans=(ans+f[pos]*g[lpos]%mod),ans=(ans+g[pos]*f[lpos]%mod),ans=(ans+g[pos]*g[lpos]%mod);
128 ans%=mod;
129 printf("%lld\n",ans);
130 }
131 else printf("%lld\n",(f[root]+g[root])%mod);
132 }
133 int sb=haha();
134 int main(){;}
bzoj3162
时间： 2024-10-05 19:40:25