常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
1.拉格朗日插值法
function y=lagrange(x0,y0,x);
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
测试：
>> x0=1:5;
>> y0=x0.^2;
>> x=2.5;
>> y=lagrange(x0,y0,x)
y =
6.2500
>> plot(x0,y0)
>> hold on
>> plot(x,y,‘*‘)
2.牛顿插值
function yi=newton(x,y,xi)
n=length(x);
m=length(y);
if n~=m
error(‘The lengths of X ang Y must be equal!‘);
return;
end
Y=zeros(n);
Y(:,1)=y‘;
for k=1:n-1
for i=1:n-k
if abs(x(i+k)-x(i))<eps
error(‘the DATA is error!‘);
return;
end
Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k))/(x(i+k)-x(i));
end
end
yi=0;
for i=1:n
z=1;
for k=1:i-1
z=z*(xi-x(k));
end
yi=yi+Y(1,i)*z;
end
测试：
x0=1:5;
y0=x0.^2;
x=2.5;
y=newton(x0,y0,x)
plot(x0,y0)
hold on
plot(x,y,‘*‘)
y =
6.2500
3.分段线性插值
y=interp1(x0,y0,x,‘method‘)
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
‘nearest‘ 最近项插值
‘linear‘ 线性插值
‘spline‘ 逐段3 次样条插值
‘cubic‘ 保凹凸性3 次插值。
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
测试：
x0=1:5;
y0=x0.^2;
x=2.5;
y=interp1(x0,y0,x,‘linear‘)
plot(x0,y0)
hold on
plot(x,y,‘*‘)
y =
6.5000
4. 埃尔米特(Hermite)插值
function y=hermite(x0,y0,y1,x); %y1是导数值
n=length(x0);m=length(x);
for k=1:m
yy=0.0;
for i=1:n
h=1.0;
a=0.0;
for j=1:n
if j~=i
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
end
end
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
end
y(k)=yy;
end
测试：
>> x0=1:5;
y0=x0.^2;
x=2.5;
y1=[1 1 1 1 1];
y=hermite(x0,y0,y1,x)
plot(x0,y0)
hold on
plot(x,y,‘*‘)
y =
7.4228
5.样条插值
Matlab 中三次样条插值也有现成的函数：
(1)y=interp1(x0,y0,x,‘spline‘);
(2)y=spline(x0,y0,x);
(3)pp=csape(x0,y0,conds);
y=ppval(pp,x)
说明：
csape 的返回值是pp 形式，要求插
值点的函数值，必须调用函数ppval。
pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即Lagrange 边界条件。
pp=csape(x0,y0,conds)中的conds 指定插值的边界条件，其值可为：
‘complete‘ 边界为一阶导数，即默认的边界条件
‘not-a-knot‘ 非扭结条件
‘periodic‘ 周期条件
‘second‘ 边界为二阶导数，二阶导数的值[0, 0]。
‘variational‘ 设置边界的二阶导数值为[0,0]。
测试：
x0=1:5;
y0=x0.^2;
x=2.5;
y1=interp1(x0,y0,x,‘spline‘)
y2=spline(x0,y0,x)
pp=csape(x0,y0,‘second‘)
y3=ppval(pp,x)
plot(x0,y0)
hold on
plot(x,y1,‘*‘)
plot(x,y2,‘*‘)
plot(x,y3,‘*‘)
y1 =
6.2500
y2 =
6.2500
pp =
包含以下字段的 struct:
form: ‘pp‘
breaks: [1 2 3 4 5]
coefs: [4×4 double]
pieces: 4
order: 4
dim: 1
y3 =
6.2321
6.二维插值
一维插值：节点为一维变量，插值函数是一元函数（曲线）。
二维插值：节点是二维的，插值函数就是二元函数，即曲面。
6.1插值节点为网格节点
（1）z=interp2(x0,y0,z0,x,y,‘method‘)
（2）pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds); %三次样条插值
z=fnval(pp,{x,y})
6.2 插值节点为散乱节点
